北邮 工程数学（线性代数）综合练习题整理(4)

原方程组的同解方程组为 ??x1?4x2?2x3??1, 求得它的一个特解为

?x2?x3?x4??1?0?(?5,?1,0,0)?,其导出组的一个基础解系为?1?(2,1,1,0)?,?2?(4,1,0,1)?,

则原方程组的全部解为???0?k1?1?k2?2(k1,k2为任意常数)

7.

36?2?7??1?1??2 ?5 ?10 3 10??0???A???124 0 0??0???012?3?10???031006?2?7?2?1?4?? 0 1 3??0 0 0??x1?3x2?6x3?2x4??7?原方程组的同解方程组为 ? x2?2x3?x4?4

? x?3?4令x3?0,可求得方程组的一个特解为?0?(2,?1,0,3)?,

?x1?3x2?2x4??6x3?其导出组的同解方程组为 ? x2?x4??2x3,

? x?0?4令x3?1 ,可求得它的一个基础解系为??(0,?2,1,0)?, 则原方程组的全部解为???0?k?(k为任意常数).

a8.

11A?1b1?b(1?a)

12b1当b?0且a?1时,A?0,方程组有唯一解;

?a114???A?1013当b = 0时, ??, 显然,此时方程组无解;

?1014???114??1114??1????当a?1时,A?1b13?0b?10?1 ,其中

?????12b14??02b?100?????1当a = 1且b=时,

2

?1114???A??0101?, Rank(A)?Rank(A)?2?3,方程组有无穷多解, 2?0000???16

?1114?1??,0当a = 1且b?时,A?010Rank(A)?3?Rank(A)?2,此时方程组无解.

??2?000?1 ???综上所述: 当a?1且b?0时,方程组有唯一解;

1时,方程组有无穷多解; 21当b?0或当a?1且b?时,方程组无解.

2当a?1且b?2六、证明题：

21. 因为A?A?E?0,即A?A?E

也就是 故有 所以

A(A?E)?E

AA?E?1?0

A?E?0, 即A+E为可逆矩阵.

2. 由于(E?A)(E?A?A2???An?1)

=E?A?A???A=E?A?E

n2n?1?A?A2???An

(An?0)

由逆矩阵的定义可知,E?A可逆且 (E?A)?1?E?A?A2??An?1 . 3. 设 k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??1)?0

即(k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0 由于

?1,?2,?3 线性无关,所以其系数必须满足

?k1?k3?0??k1?k2?0 ?k?k?03?210110?2?0, 所以上面方程组有唯一零解, 011由于A?1故有?1??2, ?2??3,?3??1 线性无关.

4. 设?1,?2,?,?r(r?m)为向量组(1)的一个极大无关组,则有

17

秩??1,?2,?,?m,??, ?1,?2,?,?m?= r =秩?也就是说,?1,?2,?,?r(r?m)也是向量组(2)的一个极大无关组.

所以,?可用?1,?2,?,?r线性表示,即??k1?1?k2?2???kr?r(r?m) 若r < m , 则??k1?1???kr?r?0?r?1???0?m 即当r?m时,?均可用?1,?2,?,?m线性表示.

?1??05.A??1??0?100a1??1??011a2??0?010b1??0???101b2???0100??101b2?

011b1?b2?a1??000a1?a2?(b1?b2)??a1显然,当 a1?a2?b1?b2 时,Rank(A)?Rank(A)?3,此时方程组必有解. 6.由于A为正交矩阵,故有AA??A?A,且A又因为

2?1,A??A?1,

A??AA?1,所以有

A?(A?)??(AA?1)(AA?1)?

??1?1=A(A)(A)?

2(A?1)

2=A?A?E

??同理可得(A)?A?E , 由正交矩阵的定义可知A亦为正交矩阵.

18