北邮 工程数学（线性代数）综合练习题整理(2)

15．三元线性方程组x1?x2?x3?1的全部解为（ A ）。

?1???1???1???????A．0?k11?k20 （k1,k2为任意常数） ???????0??0??1????????0???1???1???????B．?1??k1?1??k2?0? （k1,k2为任意常数）

?1??0??1????????1???1???1???????C．?1??k1?1??k2?0? （k1,k2为任意常数）

?0??0??1????????1???1???1???????D．?1??k1?1??k2?0? （k1,k2为任意常数）

?1??0??1???????四、计算题：

1112?x21.解方程

232?1212.设D?00?1?1 1?131132323?0.

1x18?x112, 求 D. 0211000011?000?00?01?0?0?10?0000?1101100.

3.计算n阶行列式 D =

4.设矩阵A，B分别为

?23 1???1?3?1?????2?1A=00?1,B? 0 1 1.求 (AB?B). ?????10 2???1 0 1????? 6

?A15.设A???0??3 01?0??32????1?,A?,A?0?10,A. 其中试求1??2???A2??45??0 01???6.求x，y，t，u，使得3???xy??x6??4??????12u?????tu?????t?ux?y??. 3???0 1?1??1?33?????7.求矩阵X使XA=B，其中A?2 1 0,B?4 32. ?????1?1 1??1?25?????8.设X为n阶矩阵且满足AX - B = 0,试求X,其中

?111???011??001?A??????000???000??111101?n??123?n?1???1?012?n?2n?1???001?n?3n?2?1??,B???. ????????000??1?12?????1?01??000??9.设向量组?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,1,3),?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1),,试求此向量组的秩和它的一个极大无关组.

?1?010．设A=??3??0

?1 2 0 7321003251?0??,求Rank（A）. 0??1?五、求解下列各题：

?1??1?01.讨论齐次线性方程组AX=0，其中A=????0??0?01100001?00?????000?10110001??0??x1???x0??,X??2?.

?????????x?0??n?1??1）当n为何值时，此方程组有唯一零解，或有非零解？

2）求出当n = 4时方程组的全部解.

2.当?取何值时，下面线性方程组有非零解，并求出此时的全部解.

?(??2)x1 ?3x2 ?2x3?0??x1?(??8)x2 ?2x3?0. ??2x1 ?14x2?(??3)x3?0?3.试讨论下面方程组中?取何值时,它有唯一解,无穷多解或无解,并求出有解时的全部解:

7

?(1??)x1?x2?x3?1??x1?(1??)x2?x3?1 ?x?x?(1??)x?123?14.设向量?1?(1??,1,1),?2?(1,1??,1),?3?(1,1,1??),??(0,?,?2),

1) 当?取何值时,?可用?1,?2,?3线性表示; 2) 当?取何值时,?不能用?1,?2,?3线性表示. 5.当a,b为何值时,方程组

?x1?x2?x3?x4?x5?1?3x?2x?x?x?3x?a?12345 ? 有无穷多解?并求此时的全部解.

x?2x?2x?6x?3345?2??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?b?x1?4x2?2x3??1?2x?3x?x?5x??7?1234 ?3x?7x?x?5x??8234?1??x2?x3?x4??16.求线性方程组 的全部解.

7.求下面线性方程组的全部解:

?x1?3x2?6x3?2x4??7??2x?5x?10x?3x?10?1234 ?

x?2x?4x?023?1??x2?2x3?3x4??108.当a,b取何值时,下面三元线性方程组有唯一解,无穷多解或无解?

?ax1?x2?x3?4? ?x1?bx2?x3?3 ?x?2bx?x?423?1

六、证明题：

1.若n阶矩阵A满足A+ A- E = 0,其中E为n阶单位矩阵,试证矩阵A+E为可逆矩阵. 2.设A为n阶矩阵且A= 0 (n为自然数)，则E- A是可逆矩阵且

n2(E?A)?1=E?A?A2???An?1(其中E为n阶单位矩阵).

3.设?1,?2,?3线性无关,则?1??2,?2??3,?3??1亦线性无关.

4.设向量组?1,?2,?,?m(1)与向量组?1,?2,?,?m,?(2)有相同的秩,则?可用?1,?2?,?m线性表示.

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??x1?x2?a15.证明线性方程组 ??x3?x4?a2x

满足ab?1?a2?1?b2时有解.

1?x3?b1??x2?x4?b26.设A为正交矩阵,试证其伴随矩阵A?亦.

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《工程数学》综合练习解答

通信工程、计算机科学与技术专业（本科）

《线性代数》部分

一、判断题：

1.√ , 2.×, 3. ×, 4. ×, 5. ×, 6. √, 7. ×, 8. ×, 9. √, 12. √,13. ×, 14. ×, 15. √ 16. √ 17. ×, 18. √, 19. ×, 20. 23. √, 24. ×, 25. ×, 26. ×.

二、填空题：

1. 0;

2. 7, -3, -21;

3. -12;

4. 3, -3, 1,2,-2;

?? 5.?ka?1kbkc??kbkc?1ka??,

2k3, ?1?

?1???; ?kckakb?1????1??

6. 无关, 不能;

7.???4?1??2?2?3,

是;

??1?

8. A?0,

Rank(A)=n; 9.

1; 81 ;10. ? 3?22?3,??1??2 1?, ?2????10 0??0 1?? 10 0??11?1? 3?,

??1?22??2?? 0 00 2??; 11. n, A? ,?1; ? 0 01?1????0010??1000?12. ?0100?????0300???1000?,010?;

13. ?2, ?;

??0001??0?????0001???

9

10. ×, 11. ,21. ×, 22. ,

, √√√14.?1?(?2,1,0)?,?2?(?3,0,1)?,

k1?1?k2?2(k1,k2为任意常数);

15.?1?(2,1,0,0)?,?2?(0,0,?1,1)?,??(1,0,2,0)??k1?1?k2?2.(k1,k2为任意常数) 16.

?1??2, ?1?k(?1??2)(k为任意常数)

17. ?2.

三、单项选择：

题号 选项 1 A 2 C 3 D 4 B 5 C 6 D 7 D 8 A 9 C 10 B

题号 选项 11 B 12 A 13 C 14 B 15 A

四、计算题：

1 101?x21. 原式=

0 10?3 2 3 0 0?3(1?x2)(2x?8)?0

?3x?6?32?x求得 x??1,x?4.

1?1012. D=

0000111?1?4,

4101?? 故有 D=16.

210113. D按第一行展开?0000=1+(-1)

n?1

00??1?00110?0011??(?1)n?1???10000?11(n?1)阶000?

0000 ?1101(n?1)阶00?2,当n为奇数时=?.?0,当n为偶数时10