香烟过滤嘴问题论文(2)

设t?0时刻x?ut处，单位时间内燃烧的长度u，又烟草内毒物数量H(t)的密度为w(x,t)，故H(t)?u?w(ut,t)。

综合上述q、?、H三式，得

?(x，t)?aub(x?ut)?w（ut，t）?exp(?) (0?x?l1)vv

q（l，t）?auw（ut，t）exp（现在的任务是确定w(ut,t)：

?bl1??（l?l1）?but）v。

由假设4记w(x,0)?w0。随着t的增长，未点燃的烟草在吸烟过程中不断地

吸收烟雾中的毒物，致使w(ut,t)上升，根据守恒定律其增量应该等于单位长度烟雾中的毒物被未点燃的烟草吸收的部分。即在[t,t??t]时间内，

w(x,t??t)?w(x,t)?b?(x,t)?t，

令?t?0，得

?w?b??(x,t) (0?x?l1)?t

将?(x,t)的表达式代入，推得

b（x?ut）??wabu?w（ut，t）exp（?）??tvv???w(x,0)?w0

对上式从0到t积分：

w（x，t）?w0?exp(abu?bxtbutexp（）w（ut，t）exp（）dt?0vvv

but)v，得

以x?ut代入并两端同乘

w（ut，t）exp（butbutabutbut）?w0exp（）?w（ut，t）exp（）dt?0vvvv

butbutabutf（t）?w（ut，t）exp（）f（t）?w0exp（）?f（t）dt?0vvv记,则上式为

?w0，从而得到关于f（t）两端同时对t求导，并注意到t?0时f（0）的微分方程

buw0abubut??t）?f（t）?exp（）?f（vvv??f（0）?w0?，

解之，得

f（t）?w0but?（1?a）but??exp（）??1?aexp（?）?1?avv??。

结合f（t）的原始表达式，这等价于

w（ut，t）?于是

w0?（1?a）but?1?aexp（?）??1?a?v?。

H（t）?uw（ut，t）?uw0?（1?a）but?1?aexp（?）?1?a?v??，

q（l，t）?auw01?a?bl1??（l?l1）?but（1?a）but??1?aexp（?）exp（）??vv??

?auw0bl??（l?l1）?butabut?exp（?1）exp（）?aexp（）??1?avvv??。

3．确定抽完整支香烟时通过x?l处的毒物总量Q。

抽完整支香烟的时间

l1u0t?l1u。应用积分的方法，易知

Q??q（l，t）dt

auw0bl1??（l?l1）lu1butabut?exp（?）[exp（）?aexp（）]dt?01?avvv aw0v?（l?l1）（1?a）bl1?exp（?）[1?exp（?）]（1?a）bvv

回顾

w0?Ml1，代入上式，得

?（l?l1）（1?a）bl1aMvQ?exp（?）[1?exp（?）]（1?a）bl1vv。

5）模型分析

根据假设1、4可知，烟雾沿烟草穿行的毒物总量为aM，过滤嘴长度为l?l1。 下面我们从几个不同的角度分析Q与?、b、l1、l等因素的关系。

）Qv 1．注意到的表达式中是使Q下降的因子。因此，提高?值，或加大l?l1都能够对Q起到负指数衰减的效果，并且?和l?l1在数量上增加一定比例时所起的作用相同。这体现了香烟过滤嘴减少毒物进入人体的作用。另外，降低穿行速度v也可减少Q。

exp（??（l?l1） 2．记y?bl1，

??1?av，则在Q表达式中的

（1?a）bl111?e?ay[1?exp（?）]??f（y）bl1vy。

?0，从而Q?0。所以，提高烟草吸收率b，或加 当y???时，f（y）长l1也有助于减少Q。但与?和l?l1对Q所起的负指数衰减作用相比，增加b和

l1的效果要小得多。 3．当v???时，因子

exp（??（l?l1）v）?1，

（1?a）bl1v[1?exp（?）]?1v，

由此推出Q?aM。即烟雾穿行的速度v过大时，香烟过滤嘴失去作用。因此，

奉劝抽烟者切勿猛力抽吸。

4．为了更清楚地对过滤嘴的有效性作出评估，我们比较两支香烟，一支是上述模型讨论的，另外一支没有过滤嘴，香烟总长仍为l，但只吸到l1处即扔掉，参数w0、b、a、v与第一支相同。

吸第一支和第二支烟进入人体的毒物量分别记作Q1和Q2，Q1当然如同上面的Q的表达式，Q2也不必重新计算，只需把第二支烟设想成过滤嘴的吸收率与烟草吸收率相同为b的假过滤嘴香烟即可，这样由Q的表达式可直接写出

aw0v?（l?l1）（1?a）bl1exp（?）[1?exp（?）]Q1?（1?a）bvv

和

aw0vb（l?l1）（1?a）bl1exp（?）[1?exp（?）]Q2?（1?a）bvv，

两式相比，我们得到

Q1（??b）（l?l1）?exp（?）Q2v。

可见，若??b，则Q1?Q2；若??b，则Q1?Q2。因此，要做到比不装过滤嘴

有更好的效果，那么过滤嘴对毒物的吸收必须比烟草更为有效。

Q1我们还可以看到，如果过滤嘴的长度l?l1不变，那么比值Q2随吸收率??bQ1的增加成指数下降。再进一步，如果吸收率??b不变，则比值Q2随过滤嘴的长度l?l1的增加也成指数下降。由于提高??b必须研制新材料，难度较大，所以

一般都会建议采用增长过滤嘴的办法，它可达到同样的效果有较易办到。 5．设了过滤嘴，或加长l?l1又会带来另一番恶果。根据调查统计，过滤嘴香烟减少有害物质，但是，吸烟者在吸烟时，需要花费更大的劲抽吸，并且增加抽吸抽吸的次数。所以，参照3的分析，在一定程度上抵消了过滤嘴的作用，甚至有可能增加有害物质的吸入。此外，由于过滤嘴的卷烟纸较一般烟纸厚，阻碍了香烟燃烧时的氧化作用，增加吸烟的阻力。因此，吸烟者吸入一氧化碳（CO）的量增加。而一氧化碳（CO）可导致冠心病。 6）模型点评

这个模型在基本合理的简化假设下，运用精确的数学工具解决了一个粗看起来不易下手的实际问题。从提出假设，到运用物理学上的守恒定律建立微分方程，从而构造出模型，最后到结果的分析，整个过程可以说是用建模方法解决实际问题的一个范例。