重庆大学线性代数答案(3)

当??1时，R(A)?R(A)?1?3，有无穷多解.A~组同解于

?1?0???01001001?0??0??，原方程

?x1?1?x2?x3?1???1???1????????x??0??k1??x2?x2?1??k2?0?,k1,k2?R???x3x1?x2?x3?1,?x3??0???0???1??,通解?.

?x1?ax2?x3?3??x1?2ax2?x3?4?x?x?bx?4a,b9、当为何值时,非齐次线性方程组?123（1）有唯一

解;（2）无解;（3）有无穷多解？此时求其通解.

?1?1???12?1??2??a2a1?1?0???011b0103?4??4???1?0???0解A=

?1?0??0~?0a110b?11?a第二行、第三行a01?? 分别减去第一行b?11??a13? ~

1b?1?a(b?1)2?2??1?2a??.

当a?0且b?1时，R(A)?R(A)?3，有唯一解. 当a?0时，或者当当

?1?0???0a?1,b?12时，R(A)?R(A)，无解.

a?0101,b?12时，R(A)?R(A)?2?3，有无穷多解.

1002?2??0??A~，原方程组同解于

?x1?x3?2??x2?2，

?x1?2?x3??x2?2?x?x3?3，通解

?2???1????k?0?,k?Rx??2????????0??1??.

?a???1??2????10??10、设向量组

?,

??1???2??1????5???,

??1???3??1????4???,

?1?????b????c??? 试问：当a,b,c满

足什么条件时

????????21（1）能由,,3线性表示,且表示式唯一；

????????21（2）不能由,,3线性表示,

????????21（3）能由,,3线性表示,且表示式不唯一，并求出一般表示式.

?ax1?x2?x3?1??2x1?x2?x3?b?10x?5x?4x?c23?1????x??x?x??分析：非齐次线性方程组11+2233=，即

?????????21（1）只有一个解能由,,3线性表示,且表示式唯一；

?????????21（2）无解不能由,,3线性表示, ?????????21（3）有无穷多解能由,,3线性表示,且表示式不唯一，并求

出一般表示式.

?a?2??10解A=??115?1141?b??c???2?10???2a~??2?0???01521421b??2?0c?~???2????000110a?21?1a?2?c?5b??ab?2??

b????R(A)?R(A)?3?当a??2时，，能由?1,?2,?3线性表示,且表示式唯

?2~??0??010a?201a?2c?4b?5b?c??~ab?2??a?20?(a?2)(c?4b)?2(b?1)???5b?c?

c?4b一.

当

a??2当a??2且b??1时，?，

?210c?4??001?5?c????0000?? A~????????不能由1,2,3线性表示.

时，

R(A)?R(A)?2?3，有无穷多解.

?2x1?x2?c?4?原方程组同解于?x3??c?5，

?x1?0.5c?2?0.5k?k?x2??x??c?5?3，一般表示式

??1(c?4?k)???1k??(c?5)?,k?R?=232+.

???????*Ax???,?,??11、 设是非齐次线性方程组的一个解，12n?r是对应

???????*?,?,?,?n?r线的齐次线性方程组Ax?0的一个基础解系.证明 （1），12性无关；

????????*?*??,?*??,?,?*??n?r线性无关. 12（2），????????*?,?,???,?,??证 （1）假设，12n?r线性相关，由条件12n?r线性无????

?*?,?,??关，则能由12n?r线性表示，即存在k1,k2,?,kn?r，使?????????????*=k1?1?k2?2???kn?r?n?r，而?1,?2,?,?n?r是Ax?0的解，则?*也是Ax?0的解.

????矛盾，故?*，?1,?2,??n?r线性无关.

????????（2）设k?*?k1(?*??)1?k2(?*??2)??kn?r(?*??n?r)?0，即

?????????

(k?k1?k2???kn?r)?*+k1?1?k2?2???kn?r?n?r=0，由?*，?1,?2,??n?r线性无关

得，

k?k1?k2???kn?r?0,k1?0,k2?0,?,kn?r?0，即k,k1,k2,?,kn?r全为零，所以

????????*，?*??1,?*??2,?,?*??n?r线性无关.

??????,?,?,?Ax??n?r?1是12、设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r，12它的n?r?1个线性无关的解.证明它的通解为x?k1?1?k2?2??kn?r?1?n?r?1，其中k1?k2??kn?r?1?1

??????????,?,?,?????Ax??n?r?1是证 12的n?r?1个线性无关的解，则21，3??1，???????????,?n?r?1??1是Ax?,??????????0的n?r个线性无关的解，因此21，31，n?r?11????为Ax?0的一个基础解系，Ax??的通解为????????x??1?k2(?2??1)?k3(?3??1)+???kn?r?1(?n?r?1??1)

???(1?k?k???k)??k???k?23n?r?1122n?r?1n?r?1 =???k??k???k?1122n?r?1n?r?1 =

????其中k1?1?k2?k3???kn?r?1，k1?k2??kn?r?1?1

??Ax13、 设四元非齐次线性方程组??的系数矩阵的秩为

2，已知

?1??1??2??1??2??2???????1?,?2???,?3????1??3??3?????????Ax??的通解. 143??????是它的三个解向量，求该方程组

??n?4,r?2,n?r?2Ax解 ，?0的基础解系中只有2个线性无关的解向

量，

?0??1????1?????1???1??2??1????2??3??1????2??2???????32Ax????而，是?0的2个线性无关的解向量，于是

??????????x??k??k?Ax???k??k?Ax?0的通解为11122，方程组1122 的通解

14、设三元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为1，已知它的三个

?1??0??1??2???1??0??????????????????????解向量?1，?2，?3满足?1+?2=?3?，?2+?3=?1?，?3+?1=?1?，求它的通解

解 n?3，R(A)?1，

?1??2???????1??3=??3???1??1.5?????1.5??的基础解系中只有两个解向量.因为

?1??1????0??是=??0??1??1??0???1??3??0????1?????????????1??=??2??，?1??2=??1????1??两个线性无关的解；

??1=

?1??1?????0??

?1??1??1.5??k?3??k1??2????1.5??2??该三元非齐次线性方程组的通解x????15、 设A，B是n阶方阵，且AB?0，证明R(A)?R(B)?n

?1?1A?0AR(A)?nR(B)?0，A(AB)?A0，证 （1）当时，，可逆，则即B?0，

此时R(A)?R(B)?n.

（2）当R(A)?r?n时，AX?0的基础解系中只有n?r个线性无关的解向量，即AX?0的解向量组的秩为n?r.设B??X1X2?Xn?，由AB?0得，X1,X2,?Xn为AX?0的n个解向量，所以R(B)?向量组X1,X2,?Xn的秩?n?r.故R(A)?R(B)?n.

?aA???1?117、设?aA?111b3b，B是三阶非零矩阵，且AB?0，求

解 由B?0、AB?0知R(B)?1、R(A)?R(B)?3，于是R(A)?2，

11?2b(1?a)?011b3b1?1??1??

，a?1或b?0，此时R(A)?2，R(B)?3?R(A)?1，

R(B)?1

18、设A是m?n矩阵，证明 R(A'A)?R(A) ????A'AX?0同解，则R(A'A)?R(A) AX?0分析 若能够证明与

????证 设AX?0成立，则A'AX?0一定成立.

2??????AX 若A'AX?0，则X'A'AX?0，于是

??AX即?0 ????A'AX?0同解，R(A'A)?R(A) 故AX?0与

????????[AX,AX]?(AX)'AX?X'A'AX?0，