重庆大学线性代数答案

习题一解答

21D?61?1填空 （3）设有行列式

31、

为 答：(?1)5?1501?12?4013037304282含因子a12a31a45的项

a12a23a31a45a54??5?2?6?8?3??1440或(?1)4a12a24a31a45a53?5?0?6?8?1?0

1f(x)?111241?241xx2318?8x，f(x)?0的根为 （5）设

解：根据课本第23页例8得到f(x)?(2?1)(?2?1)(?2?2)(x?1)(x?2)(x?2) f(x)?0的根为1,2,?2

（6）设x1,x2,x3是方程x解：根据条件x1?x2?x3?0，

3?px?q?0的三个根，则行列式

x1x3x2x2x1x3x3x2x1=

x3?px?q?(x?x1)(x?x2)(x?x3)，比较系数得到

x1x2x3??q；再根据条件x13??px1?q，x23??px2?q，x33??px3?q；

333x?x?x?3x1x2x3??p(x1?x2?x3)?3q?3q?0 123原行列式=

1D?2323434141??(aiJ)24123（7）设 ，则A14?2A24?3A34?4A44=

解：A14?2A24?3A34?4A44相当于?(aiJ)中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式，其值为0.

aD?cdabbbbcdcdda??(aiJ)ac（8）设，则A14?A24?A34?A44=

acdabbbbcdcddaac解 将D按第四列展开得到dA14?aA24?aA34?cA44=，第四列的元素全变成1，此时第四列与第二列对应成比例，所以A14?A24?A34?A44=0.

=a，

a11?D1?c11c21?cn1a12?a1m???c12?c1m???000a21a22?a2mam1am2?ammb11b21?bn1000b12b22?bn2????b1nb2n?b?bnn，则

000000???000a11a21?c11c21?a12?a1ma22?a2m???c12?c1mc22?c2m????(?1)mnab0?0?0?????b11b12?b1n?????ab；????D2?b11b12?b1nb21b22?b2n????am1am2?ammc22?c2mb21b22?b2ncn2?cnmbn1bn2?bnn bn1bn2?bnncn1cn2?cnm

证 因为任何一个行列式根据性质5可以变成三角行列式，假设第一个行列式变成：

a11a?a21?am1a12a22??a1m?a2m??a1?a210a2??00am2?amm=

??1am????2?amam=a1a2?am

行列式D1，D2的变换和行列式a的变换完全相同，同样假设行列式D1变成

a1?a21??1am?c11?c21??1cn0a2??2am?c12?c22??2cn??????00?am?mc100?0b11b21?bn100?0b12b22?bn2????00?0?b1n?b2n???bnn?m?c2???cnm第1次按第1行展开(a2变成第1行)第2次按第1行展开(a3变成第1行)???第m次按第1行展开a1a2?amb11b12?b1nb21b22?b2n????bn1bn2?bnn00?D2?0b11?000???000?ab

a1?a210a2??00?????1am?2?amam???c1?m第1次按第1行展开(a2变成第1行、第n+1列)c11c12???c2?m第2次按第1行展开(a3变成第1行、第n+1列)c21c22???????第m-1次按第1行展开(am变成第1行、第n+1列)?1cn?2?cnm?第m次按第1行展开cn???b12?b1n???b21b22?b2nbn1bn2?bnn

==(?1)mnab

或将D2的第(n?1)列连续经过n次对换（依次和其前面的列对换）而成为第1列，第(n?2)列连续经过n次对换而成为第2列，如此下去，第(n?m)列连续经过n次对换而成为第m列，D2共经过mn次列对换而变成D1，所以D2=(?1)ab。

7、计算下列行列式：

mnxaDn?a?a（1）

axa?aaax?a?????aaa??iaij??x， （2）Dn??(aij)其中?2i?ji?j

（3）Dn??(i?j),即aij?i?j

a10?0D2n?0?0c10a2?00?c20????????00?ancn??000?bndn??0????????0b2?00?d20b10?00?0d1a?b10?0aba?b1?00aba?b?0?????000?a?b000?ab00?1a?b Dn?0（4）（5）

解（1）第2行、第3行…、第(n?1)和第n行全加到第1行后，第1行提出x?(n?1)a得

1aa1xa1ax???1aaDn11=

1[x?(n?1)a]?????aaa?x第1行乘以(-a)加到其他每一行[x?(n?1)a]?1000x?a0?00x?a??0?0n?1?0???x?a

=(x?a)[x?(n?1)a].

12Dn?2?2（2）

0123?222?2223?2?????222?n第2行乘以(-1)加到其他每一行?120?0020?0021?0?????020?n?2=(-1)A11

（n?2)! =?21012?n?3n?22101?n?4n?33210?n?5n?4???????n?2n?3n?4n?5?01n?1n?2n?3n?4?10第n行减去第(n?1)行、 第(n?1)行减去第(n?2)行、… 第4行减去第3行、 第3行减去第2行、 1022?222002?223000?22???????n?2000?02n?1000?00 (3)Dn=

0111?n?2n?1 1?111?112?1?11?113?1?1?1?11???????n?2?1?1?1??11n?1?1?1?1??1?10111?=

11第1列加到1其他每一列1

=(n?1)A1n=(n?1)(?1)2 （4）将D2n按第一行展开

a2?0a10?c20???????0?ancn??00?bndn??0???????2n?1?1n?1n?2b2?00?d200?00?0d10?00?0c1a2?00?c20???????n0?ancn??00?bndn??0???????b2?00?d20D2n=+b1(?1)2n?1

=

a1d1D2(n?1)?b1c1(?1)a10?0aba?b1?00D2(n?1)?(a1d1?b1c1)D2(n?1)????aidi?bici)i?1

000?a?b1000?aba?b0aba?b?00??????000?a?b1000?aba?bb00?0aba?b1?000aba?b?00??????（5）Dn?中

0+

0，其

a10?00naba?b1?000aba?b?00n??????000?a?b1n第1列乘以(-b)加到第2列;?第2列乘以(-b)加到第3列;?ab??????????0a?b第(n-1)列乘以(-b)加到第n列0n?1nn?1000a100a1?0000a?00??????000?a1000?0a=a

于是Dn?a?bDn?1=a?b(a?bDn?2)=a?ba =??an?ban?1?b2an?2???bn?1a?bn 习题二解答

?2?0??1?A??0题 设

02010020?b2(an?2?bDn?3)

8

0?0??0??k2?，求A(k为正整数）

??0???0???20??20??10???0?2A?????,E??A????E???????2?E?2??0201E?????????，??，?? 解 记则

?2k?0??k?1k??0??k2Ak??k?1?k?k?????00??????1?2??0??f(?1)f(?)???00?f(?2)??k02k0k2k?1002k00??0?0??2k?

n 20题 设，f(x)?a0?a1x???anx，an?0,n为正整数，证明

0???2k??，f(?)?a0E?a1????an?n，所以 0???2n???a0?a1?1???an?1n?0?=???f(?1)0???a0?a1?2???an?2n???00?f(?2)????1k????0? 证 因为?1f(?)?a0??00???1?a1?1???0??1n0????an??2????0

21

??1P??题设?1?4??1????2?，?00?2??，P?1AP??，求A10。

4??1??，所以

114??2?1?10?1??1?2?=??2P?1????1 解 因为A?P?P?1，A10=P?10P?1，

1??1?A10=2?1?4?2???1?0?0?210???2??1?4?1?1??=2??1???1?212??211???2??1?211?2??2?210??A?13 ，则

23、填空选择题：（1）A为n阶方阵，A*为其伴随阵，

1(A)?1?15A*?4