2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题07二次函数与幂函数(教

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料

1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3

，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；

2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．

1．幂函数 (1)幂函数的定义

一般地，形如y ＝x α

的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

函数

特征

性质

y ＝

x

y ＝x 2 y ＝x 3

y ＝x 1

2

y ＝x －1

定义域

R

R R

[0，＋

∞)

{x |x ∈R ， 且x ≠0}

值域

R

[0，＋

∞)

R

[0，＋

∞)

{y |y ∈R ，

且y ≠0} 奇偶性

奇 偶

奇

非奇非

偶

奇 2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式：

一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．

顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )．

零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点．

(2)二次函数的图象和性质

解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域

(－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ????

??4ac －b 24a ，＋∞ ? ????－∞，4ac －b 24a 单调性 在? ????－∞，－b 2a 上单调递减； 在????

??－b 2a ，＋∞上单调递增 在?

????－∞，－b 2a 上单调递增； 在??????－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于x ＝－b

2a 对称

高频考点一 幂函数的图象和性质

例1、(1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点? ??

??12，22，则k ＋α等于( ) A.12 B ．1 C.32

D ．2 (2)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12

，则实数m 的取值范围是( ) A.? ????－∞，－5－12 B.????

??5－12，＋∞ C ．(－1，2) D.????

??5－12，2 解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ? ????12＝22

， 所以? ??

??12α

＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. (2)因为函数y ＝x 12

的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，

所以不等式等价于?????2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.

解得?????m ≥－12，

m ≤－5－12或m ≥5－12

，－1＜m ＜2， 即5－12

≤m <2. 答案 (1)C (2)D 【方法规律】幂函数的图象特征

(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．

(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

【变式探究】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝

f (x )的图象是( )

(2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn

2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )

A ．－3

B ．

1 C ．

2 D ．1或2

高频考点二 二次函数的图象与性质

例2、已知函数f (x )＝x 2

＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]．

(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；

(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数；

(3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．

解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]，

∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，

∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，

故f (x )的最大值是35.

(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，

故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．

(3)当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3＝?????x 2＋2x ＋3＝（x ＋1）2＋2，x ≤0，x 2－2x ＋3＝（x －1）2＋2，x >0， 其图象如图所示，

又∵x ∈[－4，6]，∴f (|x |)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．

【方法规律】解决二次函数图象与性质问题时要注意：

(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；

(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．

【变式探究】 (1)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c 的图象可能是(

)

(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________．

解析 (1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c <0，

从而由abc >0，所以ab <0，所以对称轴x ＝－b 2a

>0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f (0)＝c >0， 所以ab >0，所以x ＝－b 2a

<0，B 错误． (2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称，

∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2，

又f (x )的值域为(－∞，4]，

∴2a 2＝4，

故f (x )＝－2x 2＋4.

答案 (1)D (2)－2x 2＋4

高频考点三 求二次函数的解析式

例3、已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 解 解法一：(利用一般式)

设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．

由题意得????? 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得????? a ＝－4，b ＝4，c ＝7.

∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.

解法二：(利用顶点式)

设f (x )＝a (x －m )2

＋n (a ≠0)．

∵f (2)＝f (－1)，

∴抛物线的对称轴为x ＝2＋－2＝12. ∴m ＝12

.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ? ??

??x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ? ??

??2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4? ??

??x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.

【方法技巧】确定二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

【变式探究】 已知二次函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (0)＝0，f (1)＝1，求f (x )的解析式． 解 解法一：(一般式)设f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)， 则????? c ＝0，a ＋b ＋c ＝1，－b 2a ＝1?????? a ＝－1，b ＝2，c ＝0，∴f (x )＝－x 2

＋2x . 解法二：(两根式)∵对称轴方程为x ＝1，

∴f (2)＝f (0)＝0，f (x )＝0的两根分别为0,2.

∴可设其解析式为f (x )＝ax (x －2)．

又∵f (1)＝1，可得a ＝－1，

∴f (x )＝－x (x －2)＝－x 2＋2x .

解法三： …… 此处隐藏：5559字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……