第二节 向量组的线性相关性

第二节

向量组的线性相关性

一、线性相关、线性无关1.定义4给定向量组 A:α 1,α 2, ,α m,如果存在不全为零的数 k1, k 2, , k m使 k1α 1+ k 2α 2+ + k mα m= 0

则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关.提问:“否则,线性无关”是什么意思?若α 1,α 2, ,α n线性无关,则只有当λ1= =λn= 0时,才有

λ1α 1+λ2α 2+ +λnα n= 0成立 .

对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关 .

包含零向量的任何向量组是线性相关的 .

1) A含一个向量时:a=0,则A线性相关, a≠ 0, A线性无关 2) A含两个向量时:a1,a2线性相关 向量a1,a2共线(平行) a1= ka2

3) A含三个向量时:a1,a2,a3线性相关 向量a1,a2,a3共面.

2.等价定义向量组α 1,α 2, ,α(当 m≥ 2时)线性相关 m的充分必要条件是α 1,α 2, ,α m中至少有一个向量可由其余 m 1个向量线性表示.证明充分性设 a1, a 2, , a m中有一个向量(比如能由其余向量线性表示.即有

a m)

a m=λ1α 1+λ 2α 2+ +λ m 1α m 1

故

λ1α 1+λ 2α 2+ +λ m 1α m 1+ ( 1)a m= 0

因λ1,λ 2, ,λ m 1, ( 1)这 m个数不全为0,故α 1,α 2, ,α m线性相关.必要性设α 1,α 2, ,α m线性相关，则有不全为0的数 k1, k 2, , k m,使

k1α 1+ k 2α 2+ + k mα m= 0.

因 k1, k 2, , k m中至少有一个不为0,不妨设 k1≠ 0,则有

km k2 k3 α 1= α 2+ α 3+ + α m . k1 k1 k1 即α 1能由其余向量线性表示.证毕.

注: A线性相关未必 A中任何向量可由其余向量线性表示. a=(1,1,0),b=(-1,-1,0),c=(0,0,1),则a,b,c线性相关,但c不可由a,b线性表示.

定理4向量组α 1,α 2, ,α m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A= (α 1,α 2, ,α m )的秩小于向量个数 m;向量组线性无关的充分必要条件是 R( A)= m .

推论 n个n维向量α 1,α 2, ,α n线性相关的充要条件是 A=α 1,α 2, ,α n= 0;线性无关的充要条件是 A=α 1,α 2, ,α n≠ 0.

例1 n维向量组 T T T e1= (1,0, ,0 ), e 2= (0,1, ,0 ), ,e n= (0,0, ,1)称为 n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E= (e1, e2, , en )是n阶单位矩阵 .由 E= 1≠ 0,知 R( E )= n.即R( E )等于向量组中向量个数，故由定理 4知此向量组是线性无关的 .

例2已知 2 0 1 α 1= 1 ,α 2= 2 ,α 3= 4 , 5 7 1 试讨论向量组α 1,α 2,α 3及α 1,α 2的线性相关性 .

解分析对矩阵(α 1,α 2,α 3),施行

初等行变换变成行阶梯形矩阵,可同时看出矩阵(α 1,α 2,α 3)

及(α 1,α 2)的秩，利用定理 2即可得出结论 .

1 0 2 (α 1,α 2,α 3 )= 1 2 4 1 5 7

~

1 0 2 0 2 2 , 0 0 0

可见 R(α 1,α 2,α 3 )= 2,向量组α 1,α 2,α 3线性相关； R(α 1,α 2 )= 2,向量组α 1,α 2线性无关 .T T T例: t为何值时,向量组 (1,1,1), (2,1,0), (1,2, t+ 1)

线性相关?

例3

已知向量组α 1,α 2,α 3线性无关, b1=α 1+α 2,

b2=α 2+α 3, b3=α 3+α 1,试证b1, b2, b3线性无关 .

证设有 x1, x2, x3使x1b1+ x2 b2+ x3 b3= 0即 x(+ x 2 (α 2+α 3 )+ x 3 (α 3+α 1 )= 0, 1α 1+α 2)

亦即( x1+ x 3 )α 1+ ( x1+ x 2 )α 2+ ( x 2+ x 3 )α 3= 0,因α 1,α 2,α 3线性无关，故有 x 1+ x 3= 0, x 1+ x 2= 0, x+ x= 0. 2 3

由于此方程组的系数行列式 1 0 1 1 1 0=2≠0 0 1 1故方程组只有零解 x1= x 2= x 3= 0,所以向量组 b1, b2, b3线性无关 .

5.几个简单结论:定理5 (1)若向量组 A:α1,α 2, ,α m线性相关,则向量组 B:α1, ,α m,α m+1也线性相关 .反言之,若向量组 B线性无关,则向量组 A也线性无关 .

证明记A= (a1, , am ), B= (a1, , am, am+1 ),有R( B )≤ R( A)+ 1.若向量组 A线性相关,则有 R( A)< m,从而 R( B )≤ R( A)+ 1< m+ 1,∴向量组 B线性相关 .

说明 (1)可推广为:一个向量组若有线性

相关的部分组，则该向量组线性相关 .反之，若一个向量组线性无关，则它的任何部分组都线性无关 .

m个 n维向量组成的向量组，当维数 n小 (2)于向量个数 m时一定线性相关 .特别地, n+ 1个 n维向量一定线性相关 .

证明 m个 n维向量α1,α 2, ,α m构成的矩阵记为 An×m= (α1,α 2, ,α m ),

有 R( A)≤ n.若 n< m,则 R( A)< m,故m个向量α1,α 2, ,α m线性相关 .

(3)设向量组 A:α 1,α 2, ,α m线性无关,而向量组B:α 1, ,α m, b线性相关,则向量 b必能由向量组 A线性表示,且表示式是唯一的 .

证明

记A= (α 1,α 2, ,α m ), B= (α 1,α 2, ,α m, b ),

有R( A)≤ R( B ).因A组线性无关，有 R( A)= m;因B组线性相关，有 R( B )< m+ 1.所以 m≤ R( B )< m+ 1,即有 R( B )= m .由R( A)= R( B )= m,知方程组 (α 1,α 2, ,α m ) x= b有唯一解，即向量 b能由向量组A线性表示，且表示式唯一.