空间直线的一般方程

第八节 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程定义 空间直线可看成两平面的交线.

1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C 2 z D2 0 空间直线的一般方程 x

z

1 2

L

o

y

注：表示同一直线的一般方程不唯一。

确定空间直线的条件 由两个平面确定一条直线；

由空间的两点确定一条直线； 由空间的一点和一个方向来确定一条直线。

二、空间直线的参数方程与对称式方程

如果一非零向量 s 平行于 一条已知直线L,向量 s 称为直线L的方向向量. 设定点M 0 ( x0 , y0 , z0 ) L,

方向向量的定义：

z

s

L

M0o

My

x M ( x, y, z ) L, M 0 M // s s {m , n, p}, M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 }则 { x x0 , y y0 , z z0 } t{m, n, p}http://www.77cn.com.cn整理发布

x x0 mt y y0 nt z z pt 0消去参数t,有

直线的参数方程

x x 0 y y0 z z 0 直线的对称式方程 m n p直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.

注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程 ; x x0 , x x0 y y0 z z 0 3. 理解为: y y0 z z0 . 0 n p n p

4. 任一条直线均可表示为对称式方程.直线的两点式方程：设 直线过 ( x1 , y1 , z1 ), N ( x2 , y2 , z2 ) M 则s x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 x x1 y y1 z z1 直线方程为： x2 x1 y2 y1 z2 z1

例1

用对称式方程及参数方程表示直线

x y z 1 0 . 2 x y 3z 4 0解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )

y0 z 0 2 0 取 x0 1 , y0 3 z 0 6 0解得 y0 0,

z0 2

点坐标 (1,0, 2),

因所求直线与两平面的法向量都垂直 取

s n1 n2 {4, 1, 3},

x 1 y 0 z 2 对称式方程 , 4 1 3 x 1 4t . 参数方程 y t z 2 3 t

y 例 2 一直线过点 A( 2, 3,4) ,且和 轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y 轴垂直相交,

所以交点为 B(0, 3, 0),

取 s BA {2, 0, 4}, x 2 y 3 z 4 所求直线方程 . 2 0 4

x 3 z 1 例3 求直线L1 : y 与直线 2 0 x 1 y 2 L2: z的公垂线方程。 1 0 解：L的方向向量s 2,1, 0 1,0, 1 1, 2, 1

L与L1确定一平面 1 , n1 1, 2, 1 2,1, 0 1, 2, 5 L与L2确定一平面 2 , n2 1, 2, 1 1,0, 1 2, 2, 2 1 : ( x 3) 2 y 5( z 1) 0

2 : ( x 1) ( y 2) z 0 x 2 y 5z 8 0 公垂线： x y z 1 0

L1L

L2

三、两直线的夹角定义 两直线的方向向量的夹角称之.(锐角)

x x1 y y1 z z1 直线 L1 : , m1 n1 p1 x x 2 y y2 z z 2 直线 L2 : , m2 n2 p2cos( L^L ) ,1 2

| m1m2 n1n2 p1 p2 | m1 n1 p1 m2 n2 p22 2 2 2 2 2

两直线的夹角公式

两直线的位置关系：(1) L1 L2 m1 m2 n1 n2 p1 p2 0,m1 n1 p1 , ( 2) L1 // L2 m2 n2 p2

例如， 直线 L1 : s1 {1, 4, 0}, 直线 L2 : s2 {0,0,1}, s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 .

x 4z 3 例 4 一直线 L 过点(-3,2,5),且和直线 2 x y 5 z 1 平行，

求其方程.

解

s n1 n2 1

i

j 0

k 4 {4,3,1}

2 1 5x 3 y 2 z 5 . 4 3 1 s {m, n, p} 方法2:设 所求直线方程

m 4p 0 m n p s n1 , s n2 4 3 1 2m n 5 p 0

取 s {4,3,1}

例 5 一直线过点 M0(2,1,3), 且与直线 L: 直相交，求其方程.

x 1 y 1 z 垂 3 2 1

lM1

解

设所求直线为l , 先求两直线的交点。M0

L

过点M0做平面垂直于直线L: 3x+2y-z=5 x 1 3 t L的参数方程： y 1 2t 代入平面方程 z t 所以交点为 M1(2/7, 13/7, -3/7)

取 s kM 0 M1 {2, 1,4}

所求直线方程

x 2 y 1 z 3 . 2 1 4

四、直线与平面的夹角定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 角 称为直线与平面的夹角. 0 . 2

x x0 y y0 z z 0 L: , m n p : Ax By Cz D 0,

s {m , n, p}, n { A, B , C },

^ ( s , n) 2

^ ( s , n) 2

sin cos cos . 2 2

sin

| Am Bn Cp | 2 2 2 2 2 2 A B C m n p直线与平面的夹角公式

直线与平面的位置关系：

A B C . (1) L m n p ( 2) L // Am Bn Cp 0.

x 1 y z 1 例 6 设直线L : ,平面 2 1 2 : x y 2 z 3 ,求直线与平面的夹角. 解 n {1, 1, 2}, s {2, 1, 2},

sin

| Am Bn Cp | 2 2 2 2 2 2 A B C m n p

7 | 1 2 ( 1) ( 1) 2 2 | . 3 6 6 9 arcsin 7 3 6为所求夹角.