2007-2008学年第二学期《数值代数》期末试题

厦大数值代数

厦门大学《数值线性代数》课程期末试卷

学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿

主考教师：陈桂芝 试卷类型：（A卷）

一（10分）、 设 是Rm上的一个向量范数，并且设A Rm n。证明：若rank(A) n，

则x

二（10分）、设A Rm n m n ，写出用矩阵的QR分解求解最小二乘问题 Ax b的原理及求解步骤。

三（15分）、设对角矩阵D diag(A)，现有两种迭代求解Ax b的方法： 方法一：xk 1 Bxk f,，其中B I D 1A,f D 1b；

方法二：xk 1 B xk f ,，其中B I D 1A,f D 1b。

（1） 求两种方法的迭代矩阵特征值之间的关系；

（2） 证明：如果方法一是收敛的，则当0 1时，方法二亦是收敛的。

四（15分）、设A

五（12分）、设A Cn n，并假定 C和u Cn已给出（u 0），且 不是A的特征值。证明：可选择E Cn n满足 E

1

2

A

Ax是Rn上的一个向量范数。

minAy bn

y R

2

0

，

，求矩阵A的特征值 的条件数。

F

uv

22

，

使得向量v I A u是A E的一个特征向量。

1

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六 回答问题（每小题7分，共28分）、

1.当矩阵A满足 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 条件时，矩阵A可直接LU分解，进一步地当矩阵A满足 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 条件时，该矩阵的LU分解是唯一的。

H=

6,

0,

0

T

1 0 4

2.设x

6 4 3

，如果Householder变换

且常数

=＿＿＿＿时，则有Hx 1, ,

4,

3.线性方程组的Ax=b的系数矩阵A为对称正定矩阵，用Jacobi迭代求解该线性方程组时的迭代矩阵BJ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，进一步说明为什么该迭代矩阵的特征值均为实数。

4.何谓可逆矩阵的条件数？选择任何你熟悉的一种方式解释矩阵条件数是如何刻画非奇异线性方程组的性态的。

七（10分）、試解释单步位移QR步 H I UR，

H RU I

是怎样隐式执行的。即表明不用从H 的对角元减去 ，矩阵H到H的变换是怎样执行的。

2