高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)

高等代数(下）期末考试试卷及答案（B卷）

一．填空题（每小题3分，共21分）

1. 在P[x]3中,x2-2x-3在基1,(x-1),(x-1)2下的坐标为2. 设n阶矩阵A的全体特征值为 1, 2,

则f(A)的, n，f(x)为任一多项式，

全体特征值为 .

3.在数域P上的线性空间P[x]n中,定义线性变换A:A(f(x)) f (x),则A的值域

A P[x]n =

,A的核A 1(0)=

1 0 0

4．已知3阶λ-矩阵A（λ）的标准形为 0 0 ，则A（λ）的不变

0 0 2

因子________________________； 3阶行列式因子 D3 =_______________.

5. 若4阶方阵A的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A的若当标准形

J=

6.在n维欧氏空间V中，向量 在标准正交基 1, 2,, n下的坐标是

(x1,x2,,xn)，那么( , i)＝

7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ．

二. 选择题( 每小题2分，共10 分)

1.( ) 已知V {(a bi,c di)a,b,c,d R}为R上的线性空间， 则dim(V)为

(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4

2. ( ) 下列哪个条件不是n阶复系数矩阵A可对角化的充要条件 (A) A有n个线性无关的特征向量； (B) A的初等因子全是1次的； (C) A的不变因子都没有重根； (D) A有n个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A的特征多项式为f( ) 3 2 2 2 3，则|A|

(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) -3 4.( )设 1 (0, 1,1), 2 (2,1, 2), k 1 2，若 与 2正交，则 (A) k=1; (B) k=4; (C) k= 3; (D) k=2 5．( )下列子集哪个不是R3的子空间

(A) w1 {(x1,x2,x3) R3|x2 1} (B) w2 {(x1,x2,x3) R3|x3 0} (C) w3 {(x1,x2,x3) R3|x1 x2 x3} (D) w4 {(x1,x2,x3) R3|x1 x2 x3}

三.判断题(对的打”√”,错的打”X”,每小题2分,共12分)

1.( )设V Pn n，则W {AA Pn n,A 0}是V的子空间. 2.( ） 1, 2,

, n是n维欧氏空间的一组基，矩阵A aij

n n

，其中

aij ( i, j)，则A是正定矩阵.

3．( ) 若n维向量空间Pn含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量． 4．（ ）在线性空间R2中定义变换σ： (x,y) (1 x,y)，则σ是R2的一个线性变换. 5.（ ）设V是一个欧氏空间， , V，并且 ，则 与 正交。 6. ( ）λ－矩阵A(λ)可逆的充要条件是A( ) 0.

四.计算题（3小题，共30分）

1．已知 关于基 1, 2, 3的坐标为（1，0，2），由基 1, 2, 3 到基 1, 2, 3的

324

过渡矩阵为 100 , 求 关于基 1, 2, 3的坐标. (8分)

210

2. 设V是数域P上一个二维线性空间, 1, 2和 1, 2是V的两组基, V的线性

21

Α变换在基 1, 2下的矩阵为 ,又从基 1, 2到基 1, 2的过渡矩阵为

10 1 1

, 求Α在基 1, 2下的矩阵. (8分) 12

3. 用正交线性替换X TY化下列二次型为标准型,并写出相应的正交矩阵T:

22

f(x) x12 2x2 2x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3 (14分)

五. 证明题 (每题9分，共27分)

1. 设V为数域P上的n维线性空间， 1, 2,

, n为V的一组基, 证明

V= L( 1, 1 2,, 1 2 n) .

2．设 1, 2, , n为n维欧氏空间V的一组基．证明：这组基是标准正交基的充分必要条件是，对V中任意向量 都有

( , 1) 1 ( , 2) 2 , n n

3. 设 , 都是数域P上线性空间V的线性变换, 且 , 证明Ker( )都是 的不变子空间.

答案

幻灯片 1

幻灯片 2

Im(

)和

一、填空题(每小题 3 分，共 21 分) 3、在数域P上的线性空间P[x]n中,定义线性变换

A:A(f ( x )) f ( x ) ,则 A 的值域 A P[x] n =

P[x]n-1

,

A 的核A (0)=

1

P

1 0 0 0 4、已知 3 阶 λ -矩阵A(λ )的标准形为 0 0 0 2

1,λ ,λ (λ +1) ; 则A(λ )的不变因子________________________ λ (λ +1) 3 阶行列式因子 D3 =_______________.2

幻灯片 3

幻灯片 4

幻灯片 5

幻灯片 6

幻灯片 7

幻灯片 8

幻灯片 9

幻灯片 10

幻灯片 11

幻灯片 12

幻灯片 14

幻灯片 16