3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律

力矩 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F 作用在刚体上点 P , 且在转动 为由点O 到力的 平面内, r 作用点 P 的径矢 . Z F 对转轴 的力矩

一

MMO

z

M Fr sin Fd

M r F

r

F*

d

P

Fi 0 , Mi 0

d F

: 力臂

F

Fi 0 , Mi 0

F

F

1)若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量 F Fz F z F 其中 Fz 对转轴的力 k Fz矩为零，故 F 对转轴的 力矩

讨论

M z k r F M z rF sin

O

r

F

2)合力矩等于各分力矩的矢量和

M M1 M 2 M 3

3) 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消

M ijO

M ji

d

ri

F ji iFij

rj

j

Mij M ji

例1 有一大型水坝高110 m、长1000m,水深100m, 水面与大坝表面垂直，如图所示 . 求作用在大坝上的力， 以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .

y

y

dAdy

xh yO Q O

x 解 设水深h,坝长L,在坝面上取面积元 dA Ldy 作用在此面积元上的力

dF pdA pLdy

h 100m

L 1000mydAdy

dF pdA pLdy 令大气压为 p0 ,则p p0 g (h y)h y

dF [ p0 g (h y)]Ldyh

x O

1 F [ p0 g (h y )]Ldy p0 Lh gLh2 0 2代入数据，得

F 5.91 10 N10

L 1000m dF [ p0 g (h y)]Ldy dF 对通过点 Q 的轴的力矩h 100m

yh dF

dy

y

dM ydFh

O

Q

dM y[ p0 g (h y)]LdyM y[ p0 g (h y)]Ldy0

1 1 2 3 p0 Lh g Lh 2 6 12 M 2.14 10 N m 代入数据，得

力的空间累积效应 力矩的空间累积效应

力的功,动能,动能定理. 力矩的功,转动动能,动能定理.

二

dW F dr Ft ds Ft rd dW Md o

力矩作功

d Ft

v

F

r

dr

力矩的功 W

21

Md dW d P M M dt dt

x

力矩的功率

三

转动定律 1)单个质点 m 与转 轴刚性连接

Ft mat mr M rF sin rFt m r 2

MO

z rm

Ft Fn

F

质量元受外力 F ,内力 F ej ij 2 Mej Mij mj rj 外力矩 内力矩

2)刚体

zO

rj

Fej m j

Fij

M ej M ij m j rj2α j j

zO

M ij M ji

M ij 0j

rj

m j

Fej

Mj

ej

( m r )α2 j j

FijJ r dm2

定义转动惯量

J m rj

2 j j

转动定律

M J

刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .

四

转动惯量

J m r , J r dm2 j j 2 j

物理意义：转动惯性的

量度 .转动惯性的计算方法

质量离散分布刚体的转动惯量2 j j 2 11

J m r m r m r 2 2 2 j2 j j 2

质量连续分布刚体的转动惯量

J m r r dmj

dm

:质量元

质量连续分布刚体的转动惯量

J m r r dm2 j j 2 j

dm

:质量元

对质量线分布的刚体： dm

dl

:质量线密度

对质量面分布的刚体： dm

:质量面密度 :质量体密度

dS dV

对质量体分布的刚体：dm

五

转动动能

1 1 2 1 2 2 2 Ek mi vi ( mi ri ) J 2 i 2 i 2六 刚体绕定轴转动的动能定理

W

2

1

2 d d J d Md J 1 1 dt 1

W

2

1

1 1 2 2 Md J 2 J 1 2 2

合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体 转动动能的增量 .

例1 一质量为 m' 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂 直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳， 一端挂质量为m 的物体 . 问物体在静止下落高度 h 时， 其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计 . 解 拉力 FT 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动 能定理可得，拉力 FT 的力矩所作的功为

0

FT Rd R FT d 0

FN

为圆盘终了和起始时的角 坐标和角速度 .

, 0 和 、 0 分别

1 2 1 2 J J 0 2 2

o P'

FTm

R

om'

FT

mh

P

m

1 1 2 2 FT Rd R FT d J J 0 0 0 2 2由质点动能定理

FN

FT FT

1 1 2 2 mgh R FT d mv mv0 0 2 2物体由静止开始下落

o P'

FTm

FT

v0 0, 0 0

P

1 并考虑到圆盘的转动惯量 J m R 2 2解得

v R

mgh m v 2 2 gh m 2m (m' 2) m

例2 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .

O l 2

Ol 2

rl

dr O´

dr O´

解 设棒的线密度为 ,取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 dm dr dJ r 2dm r 2dr

r

1 3 J 2 r dr l 0 12 1 ml 2 12l/2 2

如转轴过端点垂直于棒

1 2 J r dr ml 0 3l 2

例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .

解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环

r

圆环质量

dm 2 π r dr2 3

R R

O

r dr

圆环对轴的转动惯量

dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 02

而

m π R

2

所以

1 2 J mR 2