换面法 机械制图

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第三章 换面法一、问题的提出★ 如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？ 解决方法：更换投影面。 换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某 一新投影面(辅助投影面)代替原有投影 面，使物体相对新的投影面处于解题所需 要的有利位置，然后将物体向新投影面进 行投射。1

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被替换 的投影

被替换 的投影面

新投影

V老轴

a' B

b1'

新投影面

b'X

bA

V1

a1'

老投影体系 被保留 V/H 的投影

H被保留 的投影面

a新轴

X1

新投影体系 V1/H2

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二、新投影面的选择原则P

a V

A B aH

a1 b1

b

平行于新的投影面 垂直于新的投影面

b

1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。 2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。3

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三、点的投影变换规律 ⒈ 更换一次投影面 ⑴ 新投影体系的建立V

a a1 .

a

A

a 1

V

P1

X

ax ax1H P1 X1

H

axX

ax1H X1

a

a

P1 V 新投影体系 X1 — 旧投影体系 X — H H A点的两个投影：a,a1 A点的两个投影：a, a 4

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⑵

新旧投影之间的关系a

a a1.

V

A

a 1

P1

V X

ax ax1P1 H X1

H

axX

ax1H X1

a

a

a1ax1 = a ax 一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。5

aa1 X1

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⑶ 求新投影的作图方法更换V面a

更换H面a1 XV H

X1 P 1 H.

a1

ax1

a ax

V X H

ax

ax1.

●

H

a

P1 X1

a

作图规律： 由点的不变投影向新投影轴作垂线， 并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴的距离。6

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⒉ 更换两次投影面⑴ 新投影体系的建立X2

V

P2

a2

按次序更换 P1

ax2

a

A

a 1

axX

a H

ax1 X1

P X1 —1 先把V面换成平面P1, P1 H,得到中间新投影体系: H P1 X2 — 再把H面换成平面P2, P2 P1,得到新投影体系: P2

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⑵ 求新投影的作图方法a

作图规律a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1

V X H

ax

a2

a ax1 H X1 P1.

ax2 .

a1

P2 P1 X 2

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四、换面法的六个基本问题 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线例：求直线AB的实长及与H面的夹角。空间分析： 用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。 b 作图： a P1 a a1V A

b B

X

V

b1

H

b aX1 HP1.

aH

b

a1

●

b1

●

换H面行吗？ 不行！

新投影轴的位置？与ab平行。9

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2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线 功用:一次换面后可用于求

点与直线,两直线间的距 离等。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个 投影。 a1 b1 X1 H1 V b' b' a1' b1' a' a' B X XV A b H a b H a 10一般位置直线变换为垂直线

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3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2

作图：b V H

V

b P2

a2 b2

ax2 b1P1

a b a.

a b X

B A

X

a1

a H

H1 ● X1 P1 a1 X1

●

b1 a2 b2

X2轴的位置？与a1b1垂直11

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例1 已知等腰三角 形ABC的底边 为AB,试用 换面法求出等 腰三角形ABC 的正面投影。

c'b'V X H

a'

cee1´

b

b1'

aa1' c1'12

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4. 把一般位置平面变换成投影面垂直面功用：可求解平面与投影面的倾角， 点与平面的距离， 两平行面间的距离等。问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新 轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。

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空间分析： 两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法：在平面内取一条 一般位置直线变换 V 投影面平行线，经一 成投影面垂直线，需经 次换面后变换成新投 几次变换？ 影面的垂直线，则该 能否只进行一次变换？ a 平面变成新投影面的 垂直面。 X 思考： 若变换H面，需在面 内取什么位置直线？ c C

P1 c1 a1 d1 b1X1

d b A B D

c d

a

正平线！

b H

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例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。b a V X H a b c H X 1 P1 d.

d

c

作 图 过 程： ★ 在平面内取一条水平 线AD。 ★ 将AD变换成新投影 面的垂直线。αa1 d1● ●

c1

●

d1

反映平面对哪 个投影面的夹角？

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5 . 将投影面的垂直面变成投影面的平行面 功用： 一次换面后可求解 平面实形、形心、 a1' V1 a' 两直线交角等 问题的关 键： 新投影轴 必须平行于 该平面的积 聚性投影。

V c' b1' b' C B b a H A c 1'

X1

c16

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