2002年高考试题——数学理(上海卷)

2002年各地高考数学试题

2002上海高考数学试卷

一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．若z∈C，且 (3+z)i=1 (i是虚数单位)，则.

2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则（2a—b）· a3．方程log3(1—2·3x)=2x+1的解4．若正四棱锥的底面边长为23cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 .

nn

5．在二项式(1+3x)和(2x+5)的展开式中，各项系数之和分别记为an、bn，n是正整数，则lim

an 2bn3an 4bn

n

= .

6．已知圆 (x+1)2+y2=1和圆外一点P (0，2)，过点P. 7．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2个受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示）

x t2 1

8．曲线 （t为参数）的焦点坐标是 .

y 2t 1

9．若A、B两点的极坐标为A（4，

3

）、B（6，0），则AB中点的极坐标是 .（极角用反三角函数

表示）

10．设函数f (x)=sin2x.若f (x+t)是偶函数，则t的一个可能值是.

11．若数列{an}中，a1=3，且an+1=an2（n是正整数），则数列的通项公式an12．已知函数y=f (x)（定义域为D，值域为A）有反函数y=f -1(x)，则方程f (x)=0有解x=a，且f (x)＞x（x∈D）的充要条件是y=f (x)满足 .

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。

13

5

（A）{z||z|=1, ≤argz≤,z∈C} 66（B）{z||z|≤1,

6

-1

≤argz≤

12

12

5 6

,z∈C}

（C）{z||z|=1, Imz≥（D）{z||z|≤1, Imz≥

,z∈C} ,z∈C}

14．已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m β.给出下列四个命题： （1）若α∥β，则l⊥m （2）若l⊥m，则α∥β

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（3）若α⊥β，则l⊥m （4）若l∥β，则α⊥β 其中正确命题的个数是（ ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 15．函数y=x+sin|x|，x∈[—π，π]的大致图象是（ ）

Ax

yO-π

B

Cyπ

x

x

O-πDyπ

x

-πO-π

16．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系.如图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）

（A）气温最高时，用电量最多 （B）气温最低时，用电量最少 （C）当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加 （D）当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加

月份

月份

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABO—A/B/O/中，OO/=4，OA=4，OB=3，

///

∠AOB=90°，D是线段AB的中点，P是侧棱BB上的一点.若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

'

BB

18．（本题满分12分）已知点A（—3，0）和B（3，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x—2交于D、E两点.求线段DE的长.

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19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。

已知函数f (x)=x2+2x·tanθ—1，x∈[—1，3]，其中θ∈（—（1）当θ= —

6

2

，

2

）.

时，求函数y=f (x)的最大值与最小值；

（2）求θ的取值范围，使y=f (x)在区间[—1，3]上是单调函数.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。

某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金

额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元）.设购买商品得到的优惠率=

购买商品获得的优惠额

商品的标价

，试问：

（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

（2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于

13

的优惠率？

21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

已知函数f (x)=a·bx的图象过点A（4，（1）求函数f (x)的解析式；

（2）记an =log2f (n)，n是正整数，Sn是数列{an}的前n项和，解关于n的不等式

anSn≤0；

（3）对于（2）中的an与Sn，整数104是否为数列{ anSn }中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.

22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分。

规定Cx=

m

14

）和B（5，1）.

x(x 1) (x m 1)

m!

，其中x∈R，m是正整数，且Cx=1，这是组合数Cn（n、m是

正整数，且m≤n）的一种推广. （1）求C 15的值；

5

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（2）组合数的两个性质：①Cnm=Cnn m；②Cnm+Cnm 1=Cnm 1.

是否都能推广到Cxm（x∈R，m是正整数）的情况？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；

（3）已知组合数Cnm是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，Cxm∈Z.

参考答案

一、1.—3—i; 2.13; 3.—1; 4.30°； 5.

34

12

43

313

n 1

； 6.

4

3 4

； 7.；

8.（0，1）； 9.（，arctan）； 10. 或… 11.3

2

12.f -1(0)=a,且f -1 (x)＜x (x∈A)或y= f -1 (x)的图象在直线y=x的下方，且与y轴的交点为(0，a). 二、DBCC

三、17.∠POB=arctan

18. |DE|=45.

33

43

38

.

19.（1）当x=时， y=f (x)的最小值为—；

当x= —1时，y=f (x)的最大值为

233

.

20.（1）33%； （2）[625，750]； 21.（1）f (x)=

4

x

1024

； （2）n=5，6，7，8，9；

（3）104不是数列{ anSn }中的项. 22.（1）—11628；

（2）性质①不能推广.如取x=2；性质②能推广； （3）略.