(江苏专用)2016高考数学二轮复习 专题五 第3讲 圆锥曲线的综合问

第3讲

圆锥曲线的综合问题

高考定位

圆锥曲线的综合问题包括：探索性问题、定点与

定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大 . 这类问

题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以 及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考 生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求.

真题感悟

x2 y2 (2012· 江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 2+ 2=1(a a b >b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0).已知点(1,e)和 3 e, 都在椭圆上，其中 e 为椭圆的离心率. 2

(1)求椭圆的方程； (2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1 与直线 BF2 平行，AF2 与 BF1 交于点 P. 6 (ⅰ)若 AF1-BF2= ,求直线 AF1 的斜率； 2 (ⅱ)求证：PF1+PF2 是定值.

解

c (1)由题设知 a =b +c ,e=a,由点(1,e)在椭圆上，2 2 2

1 c2 得a2+a2b2=1,解得 b2=1,于是 c2=a2-1, 又点 e,

a2-1 3 e2 3 3 2 在椭圆上，所以 2 + 2 = 1 ,即 4 + = 1 ,解得 a a 4b a 4 2

=2. x2 因此，所求椭圆的方程是 +y2=1. 2 (2)由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),又直线 AF1 与 BF2 平行，所以可 设直线 AF1 的方程为 x+1=my,直线 BF2 的方程为 x-1=my.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.2 x 2 2 1+y1 = 1 m + 2 m +2 2 2 2 由 , 得(m +2)y1-2my1-1=0, 解得 y1= , 2 m + 2 x1+1=my1 2 故 AF1= (x1+1)2+(y1-0)2= (my1)2+y1

2(m2+1)+m m2+1 = .① 2 m +2 2(m2+1)-m m2+1 同理，BF2= .② 2 m +2 2m m2+1 2m m2+1 6 (ⅰ)由①②得 AF1-BF2= ,解 = 得 m2=2, 2 2 2 m +2 m +2 1 2 注意到 m>0,故 m= 2.所以直线 AF1 的斜率为m= 2 .

PB+PF1 PB BF2 (ⅱ)证明 因为直线 AF1 与 BF2 平行，所以PF =AF ,于是 PF 1 1 1 BF2+AF1 = AF , 1 AF1 故 PF1= BF1.由 B 点在椭圆上知 BF1+BF2=2 2, AF1+BF2 AF1 BF2 从而 PF1= (2 2-BF2).同理 PF2= · (2 2-AF1). AF1+BF2 AF1+BF2 AF1 BF2 因此， PF1 + PF2 = (2 2 - BF2) + · (2 2 - AF1) = AF1+BF2 AF1+BF2 2AF1· BF2 2 2- . AF1+BF2 2 2(m2+1) m2+1 又由①②知 AF1+BF2= ,AF1· BF2= 2 ,所以 PF1 m2+2 m +2 2 3 2 +PF2=2 2- 2 = 2 .因此，PF1+PF2 是定值.

考点整合

1.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等， 这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个 点，就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引进参数表示直 线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、

数式变换

等寻找不受参数影响的量.

2.圆锥曲线中最值问题主要是求线段长度的最值、三角形面积的最 值等. (1)椭圆中的最值 x2 y2 F1、F2 分别为椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P 为椭圆上的 任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有 ①OP∈[b,a];②PF1∈[a-c,a+c];③PF1· PF2∈[b2,a2]; ④∠F1PF2≤∠F1BF2. (2)双曲线中的最值 x2 y2 F1、F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P 为双 a b 曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有①OP≥a;②PF1≥c-a.

3.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函 数和不等关系.该问题主要有以下三种情况： (1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几

何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中， 用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的 点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转 化为三角函数的最值求解.

(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中， 利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只

是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系. (3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考 虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系， 用函数方法求解.

热点一 定点与定值问题 [微题型1] 定点的探究与证明

【例 1-1】 (2015· 苏、锡、常、镇模拟)如图，以原点 O 为圆心的 两个同心圆的半径分别为 3 和 1, 过原点 O 的射线交大圆于点 P, → =λPN →且 交小圆于点 Q,P 在 y 轴上的射影为 M.动点 N 满足PM →· → =0. PM QN

(1)求点N的轨迹方程；(2)过点A(0,3)作斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,与点N的轨迹分 别交于E,F两点，k1· k2=-9.求证：直线EF过定点.

(1) 解

→ = λ PN → 且 PM →· → = 0 可知， N , P , M 三点共线且 由 PM QN

PM⊥QN. 过点 Q 作 QN⊥PM,垂足为 N,设 N(x,y). 因为 OP=3,OQ=1,由相似比可知 P(3x,y). 因为 P 在圆 x2+y2=9 上，2 y 所以(3x)2+y2=9,即 9 +x2=1,

y2 2 所以点 N 的轨迹方程为 9 +x =1.

(2)证明 设 E(xE,yE),F(xF,yF), y=k x+3, 2 1 依题意，由 y 2 + x =1 92 得(k2 + 9) x +6k1x=0,①解得 1

6k1 x=0 或 x=- 2 , k1+9

2 6 k 27 - 3 k 6k1 1 1 - 所以 xE=- 2 ,yE=k1 2 k +9 +3= k2+9 , k1+9 1 1

所以

2 27 - 3 k 6k1 9 9 1 E - 2 , 2 .因为 k1k2=-9,所以 k2=-k ,用-k 替 k +

9 k + 9 1 1 1 1 2 6k 3 k 1-27 1 F 2 , 2 . k1+9 k1+9

代①中的 k1,同理可得

显然 E,F 关于原点对称，所以直线 EF 必过原点 O.

探究提高

如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没

有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符

合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根 据特殊情况确定定点，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一 般的方法.