14__向量组的线性相关性

数学实验(十四) 数学实验(十四)线性方程组及二次型成都信息工程学院数学学院 梅志红 zhmei@http://2012-4-9 1

实验目的1、学习用软件判断向量组的线性相关性 2、熟练掌握线性方程组的多种解法 3、掌握用软件将二次型化为标准型的方法

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Mathematical experiment

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一、向量组的秩及相关性 (1)两个命令 rank(A) 求矩阵A的秩 rref (A)将A化为行简化阶梯形，其中 单位向量对应的列向量即为极大无关组所含向 量，且其它列向量的各分量是用极大无关向 量组线性表示的组合系数。

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Mathematical experiment

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[例1] 设向量组A: 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 a = , a2 = , a3 = , a4 = , a5 = 1 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 (1)求A的秩，判断向量组A是否线性相关； (2)求A的一个极大无关组； (3)将其余向量用极大无关组线性表示。

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解： >>A1=[2 1 4 3 -1 1 -6 6 -1 -2 2 -9 2 4 4 9]; >>A=A1’; >> r=rank(A) r= 35Mathematical experiment 2012-4-9

>>A2=rref(A) A2= 1 0 -1 0 4 0 1 -1 0 3 0 0 0 1 -3 0 0 0 0 0

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答：(1)r=3,向量组A线性相关； (2)它的一个极大线性无关组是：

a1,a2,a4;(3)a3= -a1-a2,a5=4a1+3a2 -3a4 。 .

D xi = i (i =12,L n) , , D7Mathematical experiment 2012-4-9

二、线性方程组(一)齐次线性方程组AX=0 函数:null(A):求系数矩阵为A的基础解系 2 x1 + x 2 + 3x3 + 5 x 4 5 x5 = 0 [例2 ] 求齐次线性方程组

x1 + x 2 + x3 + 4 x 4 3x5 = 0 3 x + x + 5 x + 6 x 7 x = 0 2 3 4 5 1

的基础解系和通解。

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>> A=[2 1 3 5 -5;1 1 1 4 -3;3 1 5 6 -7]; >> B=null(A,'r') %返回基础解系的有理格式 B= -2 -1 2 1 -3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

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答：基础解系

2 1 ξ1 = 1 0 0

1 3 ξ2 = 0 1 0

2 1 ξ3 = 0 0 1

通解

X = k1ξ1 + k 2ξ 2 + k 3ξ 3

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(二)非齐次线性方程组AX=b1、系数矩阵为方阵，当det(A)≠0时，有唯 一解 (1)逆矩阵求解：X=inv(A)*b或 X =A \b; (2)克莱姆法则求解：

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例3. 解线性方程组

x1 x2 + x3 2 x4 = 2 2 x x3 + 4 x4 = 4 1 = 1 3 x1 + 2 x2 + x3 x1 + 2 x2 x3 + 2 x4 = 4 解法1: >>A=[1 2 0 3 2 -1 212

-1 -1 1 -1

1 -2 4 0 2];2012-4-9

Mathematical experiment

>> b=[2;4;-1;4];

>>x=inv(A)*b x= 1 -2 0 1/213Mathematical experiment 2012-4-9

或:

>>x=A \ b x= 1 -2 0 1/2

解法2: 解法 >>x=D1/D >>n=size(A); x= 1 >>D1=ones (n(2),1); -2 >>for j=1:n(2) j=1 n(2) 0 A1=A; 1/2 A1(:,j)=b; D1(j)=det(A1); end14Mathematical experiment 2012-4-9

>>D=det(A);

2、一般的线性方程组Ax=b的解法 、一般的线性方程组 的解法操作步骤如下： 操作步骤如下： (1)输入系数矩阵A及常数项矩阵b; (2)生成增广矩阵B=[A b]; (3)计算：A的秩r1及B的秩r2; (4)判断：若r1= r2,则转(5);否则程 序结束； (5)将B化为行简化阶梯形； (6)确定方程组的解。15Mathematical experiment 2012-4-9

[例4] 解线性方程组 x1 +5x2 -x3 -x4 x1 -2x2 +x3+3x4 3x1+8x2 -x3 +x4 x1 -9x2 +3x3+7x4 解： >>A=[1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7 ] ;16Mathematical experiment 2012-4-9

= -1 =3 =1 =7