利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法

数学,高等数学

第30卷　第6期2006年12月

武汉理工大学学报(交通科学与工程版)

JournalofWuhanUniversityofTechnology

(TransportationScience&Engineering)

Vol.30　No.6Dec.2006

利用对称性计算

3

第二类曲线积分与曲面积分的方法

刘富贵1)　鲁凯生2)

(武汉理工大学理学院1)　能源与动力工程学院2)　武汉　430063)

摘要:由于第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题,.文中,表明,此方法有时能起到简化计算的作用.关键词:曲线积分;曲面积分;对称中图法分类号:O172.2

1定理1　设L为xoy平面上关于x轴对称的一条有向光滑曲线弧[1],其方程是一双值函数,设为

y=±y(x),(a≤x≤b).记L1,L2分别为L位于x

{P[x,y(x)]-∫

　　　　　P[x,y(x)]}dx=0dx=

∫

　　P(x,y)dx=

L

∫

ba

ba

　　2)当P(x,y)关于y为奇函数时,有{P[x,y(x)]+∫

　　P[x,y(x)]}dx=2P[x,y(x)]dx=

∫

　　2P(x,y)dx

∫

　　注1　对于Q(x,y)dy有类似定理1的结

∫

　P(x,y)dx=

L

轴的上半部分与下半部分,L1,L2分别在x轴上的投影方向相反,函数P(x,y)在L上连续,那么

1)当P(x,y)关于y为偶函数时,则

∫

ba

ba

∫

L

P(x,y)dx=0

L1

　　2)当P(x,y)关于y为奇函数时,则

L

∫

L

P(x,y)dx=2

∫

L1

p(x,y)dx

论.

注2　定理1可用两句口诀来简言之,即“反 对 偶 零”与“反 对 奇 倍”.其中:“反”指L1,L2在x轴上的投影方向相反(L=L1+指L关于x轴对称;“偶”指被积函数L2);“对”

指曲线积分P(x,y)在L上关于y为偶函数;“零”

的结果等于零.口诀“反 对 奇 倍”的涵义类似解释.

关于曲线积分

P(x,y)dx还有另一个对称

∫

L

　　证明　依定理条件不妨设

.L1:y=y(x),x从点a变到点b

L2:y=-y(x),x从点b变到点a.

于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有

∫

L

P(x,y)dx=

baba

∫

L1

P(x,y)dx+

ab

∫

L2

P(x,y)dx=

P[x,-y(x)]dx=

∫∫

　　　{P[x,y(x)]-P[x,-y(x)]}dx

∫

　　　P[x,y(x)]dx+

故　1)当P(x,y)关于y为偶函数时,有

　　　　收稿日期:20060613

　　　　刘富贵:男,57岁,副教授,主要研究领域为图论　　　3国家自然科学基金项目资助(批准号:60574012)

性的结论是

定理2　设L为xoy平面上关于y轴对称的一条有向光滑曲线弧,其方程为y=y(x),(-a≤x

数学,高等数学

1070 武汉理工大学学报(交通科学与工程版)2006年　第30卷

≤a),记L1,L2分别为L位于y轴的右半部分与左半部分,L1,L2分别在x轴上的投影方向相同,函数P(x,y)在L上连续,那么

1)当P(x,y)关于x为奇函数时,则

P(x,y)dx=∫

L

影都是针对x轴而言的[2],而定理2中积分曲线弧的对称性及其投影是分别针对y轴和x轴而言的.另外,被积函数P(x,y)的奇偶性也是分别针对不同的变量而言的,故定理2的结论恰好与定理1相反,定理2用口诀简言之是:“同 对 奇 零”与“同 对 偶 倍”.其中:“同”指L1,L2分别在x轴的投影方向相同;“对”指L关于y轴对称;“奇”指被积函数P(x,y)关于x为奇函数;“零”指曲线积分结果等于零.“同 对 偶 倍”的涵义类似解释.

　　2)当P(x,y)关于x为偶函数时,则

P(x,y)dx=2P(x,y)dx

∫∫

L

L1

　　证明　依定理条件不妨设

L1:y=y(x),x从点0变到点a.

L2:y=y(x),x从点-a变到点0.(a>0)

于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有　P(x,y)dx=

L

2.

3xoy平面对称的有向光,设为z=±z(x,)(x,y)∈Dxy(其中Dxy为2在xoy平面上的投影区域),记21,22分别为2位于xoy平面的上半部分与下半部分,21与22的侧关于xoy平面相反,函数R(x,y,z)在2上连续,那么

1)当R(x,y,z)关于z为偶函数时,则

∫

∫P(x,y)dx+∫P(x,y)dx=　　　P[x,y(x)]dx∫P,y　　　

L1a

L2

0-a

x)-t,有

∫P[(x,yx)]dx=　　P[(-t,y(t))]dt=P[-∫∫

-a

a

a

00

x,y(x)]dx

因此有

　P(x,y)dx=

L

κR(x,y,z)dxdy=

2

2

21

∫

　　2)当R(x,y,z)关于z为奇函数时,则

a

a

P[-x,y(x)]dx=

∫∫

　　　{P[x,y(x)]+P[-x,y(x)]}dx

∫

　　　P[x,y(x)]dx+

0a

κR(x,y,z)dxdy=2κR(x,y,z)dxdy

　　证明　依定理条件不防设

21:z=z(x,y),(x,y)∈Dxy,21取上侧.22:z=-z(x,y),(x,y)∈Dxy,22,取下侧.　　于是由对坐标的曲面积分的性质及计算方法有

　R(x,y,z)dxdy=

2

故　1)当P(x,y)在L上关于x为奇函数时,有　　P(x,y)dx=

L

∫

∫　　　　0dx=

∫

0a

　　　　{P[x,y(x)]-P[x,y(x)]}dx=

a

κ

　　2)当P(x,y)在L上关于x为偶函数时,有　　P(x,y)dx=

L

a

∫∫

a

{P[x,y(x)]+

　　　　P[x,y(x)]}dx=　　　　2P[x,y(x)]dx=2

∫∫P[x,y]dx

L1

注1　对于论.

Q(x,y)dy有类似定理2的结

∫

L

κκR(x,y,z)dxdy=

　　　R[x,y,z(x,y)]dxdy-κ

　　　R[x,y,-z(x,y)]dxdy=

κ

　　　{R[x,y,z(x,y)]-κ

　　　R(x,y,z)dxdy+

21

22

DxyDxyDxy

　　　R[x,y,-z(x,y)]}dxdy

故　1)当R(x,y,z)关于z为偶函数时,有　R(x,y,z)dxdy=

2

注2　定理1与定理2虽然都是对坐标x的曲线积分,但定理1中积分曲线弧的对称性及其投

κ

Dxy

κ{R[x,y,z(x,y)]-

数学,高等数学

　第6期

刘富贵,等:利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 1071

　　　R[x,y,z(x,y)]}dxdy=

Dxy

κ

0dxdy=02

∫

a

(x2+a2-x2)dx=-2a3

a-2

　　2)当R(x,y,z)关于z为奇函数时,有　R(x,y,z)dxdy=

2

其中,L1:y=

x,x从点a变到点0.

2

κ

Dxy

κ

{R[x,y,z(x,y)]+

2

例3[3]　计算I=

2

2

κxyzdxdy.式中:2为球面

2

　　　　R[x,y,z(x,y)]}dxdy=x+y+z=1的外侧位于x≥0,y≥0的部分.

κ

　　　　2R(x,y,z)dxdy

∫∫

注1　对于P(x,y,z)dydz,

κ

κQ(x,y,z)dzdx有类似定理3的结论.

　　　　2R[x,y,z(x,y)]dxdy=

Dxy

　　解　依题设条件分析知,该曲面积分满足定理3中“反 对 奇 倍”的结论,故有

I=2

21

2

κxyzdxdy=

2xy1-xκ

21

2

-y2dxdy=-dr=

2

2

2

Dxy

sin2Ηd3

κ

2

1

15

　　注2　定理3类似可用口 …… 此处隐藏：4294字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……