高三数学渐开线与摆线

4.4.4 参数方程中曲线欣赏 -----渐开线与摆线 -----渐开线与摆线教学目标: 教学目标 1.了解圆的渐开线的参数方程 了解圆的渐开线的参数方程 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程 了解摆线的生成过程及它的参数方程 3.学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤

四 渐开线与摆线

1、渐开线的定义

探究： 探究：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上， 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧， 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？ 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？

动点(笔尖)满足什么几何条件？ 动点(笔尖)满足什么几何条件？

设开始时绳子外端(笔尖)位于点A, 当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角 的一段弧AB, 展开后成为切线，所以 切线BM的长就是AB的长， 这是动点(笔尖)满足的几何条件。O B M

A

我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 圆的渐开线 相应的定圆叫做渐开线的基圆 渐开线的基圆。 相应的定圆叫做渐开线的基圆。

y

2、渐开线的参数方程以基圆圆心O为原点，直线 为 轴 以基圆圆心 为原点，直线OA为x轴，建立平面 为原点 直角坐标系。 直角坐标系。 设基圆的半径为r,绳子外端 的坐标为 的坐标为( , )。 设基圆的半径为 ，绳子外端M的坐标为(x,y)。 显然，点M由角 唯一确定。 显然， 由角 唯一确定。 M B

r uuu r 由于向量e1 = (cos ,sin )是与OB同方向的单位向量， r uuuu r 因而向量e2 = (sin , cos )是与向量 BM同方向的单位向量。 uuuu r r 所以 | BM |= (r )e2 ,即 uuuu r | BM |= ( x r cos , y r sin ) = r (sin , cos )

取 为参数，则点B的坐标为(rcos ,rsin ),从而 uuuu r uuuu r BM = ( x r cos , y r sin ),| BM |= r .

O A x

解得

x = r (cos + sin ) ( 是参数)。 y = r (sin cos )

这就是圆的渐开线的参数方程。 这就是圆的渐开线的参数方程。 圆的渐开线的参数方程

y

3、渐开线的参数方程 x = r (cos + sin ) ( 是参数)。 y = r (sin cos )M B

O A x

渐开线的应用： 渐开线的应用：在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。 由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 由于渐开线齿行的齿轮磨损

少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。 因此大多数齿轮采用这种齿形。 设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。

4、摆线的定义

思考： 思考：P43如果在自行车的轮子上喷一个白色印记， 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 摆线在它与定直线 的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？ 的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时， 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周 的部分叫做一个拱 一个拱。 的部分叫做一个拱。上一个定点的轨迹是什么？ 上一个定点的轨迹是什么？ M O

B

A

同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。 同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。

线段OA的长等于MA的长，即OA = r 。摆线， 旋轮线。 我们把点M的轨迹叫做平摆线 简称摆线 又叫旋轮线 我们把点 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。 的轨迹叫做平摆线，

5、摆线的参数方程M O

B

A

根据点M满足的几何条件，我们取定直线为 轴 定点M滚动时落在定 根据点 满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点 滚动时落在定 满足的几何条件 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。 设圆的半径为r。 设圆的半径为 。y

M O D

CA

B

所以，摆线的参数方程为： 所以，摆线的参数方程为：x x = r ( sin ), 设开始时定点M 在原点，圆滚动了 角后与x轴相切于点为参数) B。 ( A,圆心在点 从点M 分别做AB,x轴的垂线，垂足分别是C,D。 ). y = r (1 cos E

设点M 的坐标为( x, y ), 取 为参数，根据点M 满足的几何条件，有

x = OD = OA DA = OA MC = r r sin ,

y = DM = AC = AB CB = r r cos .

6、摆线的参数方程M O y

B

A

M O D

CA

B

E

x

摆线的参数方程为： 摆线的参数方程为： x = r ( sin ), ( 为参数)

y = r (1 cos ).

思考： 思考：P44

在摆线的参数方程中， 的取值范围是什么？ 在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？ 一个拱的宽度与高度各是什么？ 一个拱的宽度与高度各是什么？

小结： 小结： 1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 、圆的渐开线， 2、平摆线、 2、平摆线、摆线的参数方程