杭州电子科技大学2009—2010学年第二学期线性代数期末试卷B

杭州电子科技大学2009 —2010 学年第 二学期

《线性代数 A 》期末试卷（B）卷

班级： 学号： 姓名：

一、选择题（每题4分，共20分） 1. 设n阶行列式D=aij

正确的是 (A) aijAij 0；

i 1n

n

，Aij是D中元素aij的代数余子式，则下列各式中

(B) aijAij 0；

j 1n

n

(C) aijAij D；

j 1

n

(D) ai1Ai2 D

i 1

2． 已知 1, 2, 1, 为3维列向量组，行列式|A| | 1, 2, 1| 4, 2

|B| | 2, 1, 2| 1, 则行列式| 1 2, 2 1 2, 1 2 2| （A）. －6； （B） 6； （C）－18； （D）18。 3.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶不可逆矩阵，则 （A）A+B为可逆矩阵；（B）A+B为不可逆矩阵； （C）AB为可逆矩阵；（D）AB为不可逆矩阵；

4、设A为n阶矩阵，下列关于矩阵乘积的说法中正确的有 ( )

（A）若A2=A，则有A=E或A=0； （B）若A2=A，且|A|≠0，则有A=E； （C）若AX=AY，且A≠0，则X=Y； （D）若A2=0，则A=0。 5、设矩阵A的秩为r，则下列说法中不正确的是 ( ) （A）A中所有的r+1阶子式都等于零； （B）A中可能有等于零的r阶子式； （C）A中存在着不等于零的r阶子式； （D）A中所有的r-1阶子式都等于零； 二、填空题（每题4分，共20分） 1．阶方阵

满足

，则

22

2．二次型f(x1,x2,x3) x12 x2 x3 4x1x2 4x1x3 4x2x3的秩为。

1 11

3．设 为3维列向量， T是 的转置，若 T 11 1 ，则

1 11

T

4．已知 (3,5,7,9)T, ( 3, 5,2,0)T，x满足2 3x ，则x 5．非齐次线性方程组AX=B的解向量是 1, 2, t,若k1 1 k2 2 kt t也是AX=B的解，则k1 k2 kt 三、计算题(48分)

a1

a2

a3

a4a4

a41 a4

1、（8分）计算行列式D

a1

a1a1

1 a2a3a21 a3a2

a3

100

2. （8分）设A 010 ，求的特征值及对应的特征向量。

021

1 100 2 01 10 ,C 03（8分）. 设B

001 1 0 0001 0

1

2003120

4 3

，且矩

阵 1 2

满足关系式

X(C B)T E, 求

。

x1 3x2 2x3 1

4、a，b取何值时，方程组 x1 4x2 3x3 2有唯一解，无解，有无穷多个解；

2x ax 3x b

23 1

并在有无穷多个解时求其通解（12分）

22

5.(12分)求一个正交变换X PY,将二次型f 2x12 4x1x3 6x2化为标准形 2x3

(要求：写出正交变换和标准形).

四、证明题 (12分)

1、设向量组 1, 2, 3线性无关，且 1 4 1 4 2, 2 1 2 2 3, 3 2 3， 证明： 1, 2, 3线性相关

2．若A，B均为n阶方矩，且A可逆，证明：BA与AB相似

浙江理工大学2009 —2010 学年第 二 学期

《 线性代数 A 》期末试卷（B）卷标准答案和评分标准

一、选择题

1、C; 2、A;3、D;4、B;5、D.

二、填空题

1、A 3E；2、3; 3、3 ；4、 (3,5,4,6)T；5、1. 三、计算题

1、解：

a2a3a4c ccD

12

3 c4

1 a a1 a2a3a41 a2 a34

a21 a 3a4a2

a3

1 a4

000cj a j*c1

1 a a100

1 a2 a34

010 001

1 a1 a2 a3 a4 2. 解：

特征值， 对于λ1＝1，，特征向量为

………3分………6分 ………8分

3分

………6分

………8分

………

3. 解：

…8分

4、解

：该方程的增广矩阵为：

321 1321 r2 r1 1

r 3 2r1 0 r 3 (a 6)r2

B A 1432 111

2a3b 0a 6 1b 2 21 13

01

11

005 a4 a b

1）当5 a 0，即a 5，b任意取值时，R(A) R(B) 3，方程组有唯一解；

………3分

5 a 02）当 时R(A) 2 3 R(B)，即a 5,b 1时，方程组无解；

4 a b 0

………6分

5 a 03）当 时R(A) R(B) 2 3，即a 5,b 1时，

4 a b 0

方程组有无穷多解 ………9分

1321

1432当a 5,b 1时，代入得B A

2531

1321

0111 0000

10 1 2 ， 1 3r2

r 0111

0 000

x1 x3 2

同解方程组为 ，

x2 x3 1

x1 1 2

通解为x2 c 1 1 （其中c为任意常数） ………12分

x 3 1 0 202

5、解：二次型f的矩阵为A 060

202

2

02

由A E

6 0 0可得 2

2

特征值分别为 =0,4,6 101 1当 ,A 010 ,特征向量为P

1=0时1 0

000 1

当 4时,A-4E 10 1 010 1

,特征向量为P

22 0

000 1 100 0当 时,A-6E 001 特征向量为P

3 63 000 1 0

P1,P2,P3两两正交,单位化可得所求正交变换为：

1 x 11 0 2 x1 y1 2 002 y

2 x 11（P形式不唯一） 3

0 2

2

，

y3 且标准形为：f 4y2 6y2

23

四、证明 1．证明：

2分 ………5分

………8分

………11分 ………12分………

10 4

1, 2, 3 4 1 4 2, 1 2 2 3, 2 3 1, 2, 3 4 21

01 1

=

( 1, 2, 3)A ………2分

4

1

而A= 4 21 0，所以R(A) 3， ………4分

01 1从而R( 1, 2, 3) R(A) 3，所以 1, 2, 3线性相关 ………6分

法三：（基本方法）设 x1 1 x2 2 x3 3 ………2分

只要证明有不全为零的数x1,x2,x3使（1）式成立即可。

式（1）整理得到：(4x1 x2) 1 ( 4x1 2x2 x3) 2 (x2 x3) 3 ………4分

由已知条件，向量组 1, 2, 3线性无关，推出

4x1 x2 0

4x1 2x2 x3 0 x2 x3 0

10 4

A 4 21齐次线性方程组（3）的系数矩阵为

01 1

易知R(A) 3，所以（3）有非零解。

即有不全为零的数x1,x2,x3使（1）式成立。所以 1, 2, 3线性相关

………6分 2、证明：因为A可逆，即A 1存在，又A(BA)A 1 (AB)(AA 1) AB， ……4分

由相似矩阵定义可得：AB与BA相似。 ………6分