2.2.3.1 直线与圆的位置关系 课件(北师大必修2)

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[读教材·填要点]

位置关系 公共点个数 判定 方法 几何法：设圆心到直线的 |Aa＋Bb＋C| 距离d＝ A2＋B2 d < r D＝ r D >r 相交 相切 相离

2个

1 _个

0 个

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位置关系 判 定 方 法 代数法：由

Ax＋By＋C＝0， x－a 2＋ y－b 2＝r2，

相交 相切

相离

Δ> 0

Δ＝ 0

Δ

< 0

消元得到一元二次方程的判别 式Δ

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[小问题·大思维]

1．直线 Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 相交时，方

Ax＋By＋C＝0， 程组 x－a 2＋ y－b 2＝r2 x＝x ， 1 的解 y＝y1 x＝x ， 2 和 y＝y2

的

x1＋x2 y1＋y2 几何意义是什么？ ， 呢？ 2 2 提示：该方程组的解恰好是直线与圆的交点 P、Q 的坐标，

x1＋x2 y1＋y2 即有 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，而( ， )恰为弦 PQ 的 2 2 中点坐标．

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2．是否任意直线与圆的位置关系的判定都可以用 几何法与代数法这两种方法？ 提示：是．几何法与代数法是从不同的方面进行

判断的，几何法侧重于“形”，代数法侧重于“数”．

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[研一题] [例1] 判断下列直线与圆的位置关系，若有公共点

求出公共点的坐标． (1)直线：x＋y＝0，圆：x2＋y2＋2x＋4y－4＝0； (2)直线：y＝x＋5，圆：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0； (3)直线x＋y＝3，圆：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0.

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[自主解答] (1)圆的方程 x2＋y2＋2x＋4y－4 ＝0 可化为 (x＋1)2＋(y＋2)2＝9， 圆心(－1，－2)，半径为 3. |－1－2| 3 2 圆心到直线的距离 d＝ ＝ <3， 2 1＋1

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∴直线与圆有两个公共点．

x＋y＝0， 2 x ＋y2＋2x＋4y－4＝0，

消去y得x2－x－2＝0， 解得x1＝－1，x2＝2， ∴y1＝1，y2＝－2， ∴交点A(－1,1)，B(2，－2)．

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(2)圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圆心(－1,2)， 半径 2， |－1－2＋5| 圆心到直线的距离 d＝ 2 2＝ 2， 1 ＋ －1 ∴直线与圆相切，有一个公共点，

y＝x＋5， 2 x ＋y2＋2x－4y＋3＝0，

消去 y 得 x2＋4x＋4＝0， ∴x＝－2，y＝3，∴切点(－2,3)．

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(3)圆的方程化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1， 圆心(2，－1)，半径长为1， |2－1－3| 圆心到直线的距离d＝ 2 2 ＝ 2>1， 1 ＋1 ∴直线与圆相离．

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[悟一法]

解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置和

直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直 线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到 直线的距离和半径的大小，而不用代数法．

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[通一类]

1．已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何 值时，圆与直线相交、相切、相离？