《建筑力学》第12章 静定结构的位移计算

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第12章 静定结构的位移计算12.1 位移的概念及位移计算的目的 12.2 变形体的虚功原理 12.3 结构位移计算的一般公式 12.4 结构在荷载作用下的位移计算 12.5 图乘法 12.6 支座移动和温度改变引起的位移计算 12.7 互等定理1

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12.1 位移的概念及位移计算的目的

1.结构位移产生的原因结构是由可变形的材料做成的，在外部因素作 用下，结构将产生变形和位移。 变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。 引起结构位移的原因 (1)荷载； (2)温度改变； (3)支座位移； (4)制造误差； (5)材料收缩2

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12.1 位移的概念及位移计算的目的 2. 结构位移的种类 (1)某点的线位移 (2)某截面的角位移 (3)两点间的相对线位移 (4)两截面间的相对角移 A 绝对位移 相对位移 线位移： 角位移： 线位移： 角位移： C△C

P B

△BC

△B

C BC

B

一般来说，结果的位移与结构 的几何尺寸相比都是极其微小的。

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12.1 位移的概念及位移计算的目的 3. 计算位移的目的 (1)为了校核结构的刚度。 (2)结构制造和施工的需要。 (3)为分析超静定结构打下基础。 另外，结构的稳定和动力计算也以位移 为基础。 起拱高度

△

结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。4

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12.2 变形体的虚功原理

复习功的概念A

P B

P

常力作的功

△T = P COSαP P d

力偶作的功

P

T = Pd = M

P5

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12.2

变形体的虚功原理

1. 外力虚功、广义力及广义位移 (1)位移的双脚标符号

k

j

A

P1

1

产生位移的原因 位移发生的位置 位移的大小

△11

2

P2△22

B

△12

A

1

P1

2

B△21

△11

A

1

P22

B6

△12

△22

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12.2 变形体的虚功原理 1. 外力虚功、广义力及广义位移 (2)外力的虚功实功：力在本身引起的位移上作的功。 实功：力在本身引起的位移上作的功。 实功是力(位移)的二次函数。 实功是力(位移)的二次函数。 虚功： 虚功：力在其它因素引起的位移上作 的功。力与位移是彼此无关的量， 的功。力与位移是彼此无关的量，分 别属于同一体系的两种彼此无关的状 虚功是力(位移)的一次函数。 态。虚功是力(位移)的一次函数。

考察力作功的过程 静力加载：0→P

A

P1

1

△11

2

P2△22

B

△12

A

1

P1

2

B△21

Tkj=Pk·△kj虚功是代数量，有正有负。 虚功是代数量，有正有负。 虚位移与虚力

△11

A

1

P22

B

△12

△227

虚功并不是不存在的功，只是强调作功过程中位移与力无关的特点。

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12.2

变形体的虚功原理

1. 外力虚功、广义力及广义位移 (3)广义力及广

义位移 作 功 的 两 因 素集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、 力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系 统称为广义力 统称为广义力 位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移 角位移、相对线位移、相对角位移、 位移： 统称为广义位移 统称为广义位移

A(4)虚功的两种状态 力状态 位移状态

1

P1

2

B△21

△11

A

1

P22

B8

△12

△22

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12.2

变形体的虚功原理

2. 变形体的虚功原理： 设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其它 原因产生符合约束条件的微小的连续变形，则外力在相应位移上 所做的外力虚功T 恒等于整个变形体各个微段内力在变形上所做 的内力虚功W。

T=W式(12-1)称为虚功方程，式中

(12-1)

T —外力虚功

W —内力虚功

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12.2 变形体的虚功原理 3.内力虚功的计算力状态 位移状态

A RA

P

M

q B ds

A

ds

B

q

RB

N

Q

Q+dQ N+dNds ds du

γ γds

d

dv

ds

微段ds上的内力虚功为 整个结构的内力虚功为

du = εds , dv = γds , d = κds

dW=Ndu+Qdv+Md = Nεds + Qγds + Mκds10

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12.2

变形体的虚功原理

4. 虚功原理的两种应用 平面杆件结构的虚功方程为

虚位移原理 虚力原理

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12.3 结构位移计算的一般公式 1. 位移计算的一般公式 设平面杆系结构由于 荷载、温度变化及支座移 动等因素引起位移如图。 求任一指定截面K沿 K 任一指定方向 k—k上的 位移△Kj 。 利用虚功原理 外力虚功 (12-3) T= = 内力虚功 W= 这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结果为 正，所求位移△Kj与假设的 PK=1同向，反之反向。这种方法又 12 可得 称为单位荷载法。 单位荷载法 t1k

K

△Kj

P2ds

k PK=1

t2 P1 K′k

c3 K

ds k

R 3

duj、 dvj、 d j

Nk、 k、 k Q M

c1

c2

R 1 R 2虚拟状态-力状态

实际状态-位移状态

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12.3 结构位移计算的一般公式 2. 位移计算公式的普遍性表现 适用范围与特点： 适用范围与特点： 1) 适于小变形，可用叠加原理。 ) 适于小变形，可用叠加原理。 2) 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 ) 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： 关于公式普遍性的讨论： (1)变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 )变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 (2)变形原因：各种广义荷载。 )变形原因：各种广义荷载。 (3)结构类型：各种杆件结构。 )结构类型：各种杆件结构。 (4)材料种类：各种变形固体材料。 )材料种类：各种变形固体材料。13

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12.3 结构位移计算的一般公式

3. 虚拟状态的设置在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相

应 的虚拟力状态。

例如:

求△AH

求 A

A实际状态

1

A虚拟状态

1A虚拟状态

求△AB B A

1

求 AB B A

1

1

虚拟状态

虚拟状态

1

广义力与 广义位移14

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12.4 结构在荷载作用下的位移计算 1.静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位移△KP, 此时没有支座位移，故式(12-3)为

(a)为虚拟状态中微段上的内力；d P、duP、dvP为 式中： 实际状态中微段上的变形。由材料力学知

duP=

dvP =

d P=(12-4)

将以上诸式代入式(a)得 a

15 这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。 这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。

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12.4 结构在荷载作用下的位移计算

平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式(12-4)注： (1)符号说明 ) (2)正负号 )

k--为截面形状系数 为截面形状系数

1.2

10

9