最优控制 第四章 极小值原理及其应用2

第四章 极小值原理及其应用用古典变分法解最优控制问题时,假定u(t)不受限制,从而得到最优控制应满足

H 0 u实际上在工程问题中,控制变量总有一定的限制.

设控制变量被限制在某一闭集内 即u(t)满足 G[ x(t ), u (t ), t ] 0

u

满足限制条件的u(t)称为容许控制，由于δu不能是任意的, H 0 的条件已不存在 u

4-1.连续时间系统的极小值原理设系统状态方程为:

x(t ) f [ x(t ), u(t ), t ]初始条件

x(t0 ) x(0) , x Rn , u R p , Ω为有界闭集,不等式约束为G为m维连续可微的向量函数,m p

G[ x(t ), u(t ),t ] 0,

系统从x0转移到终端状态x(tf),tf未给定,终端状态x(tf)满足等式约束

M[ x(t f ),t f ] 0M为q 维连续可微向量函数, q n

性能指标:

J [ x(t f ),t f ] F[ x(t ),u(t ),t ]dtt0

tf

最优控制问题就是要寻找最优容许控制u(t)使J为极小

令

(t ) u(t ) (t 0 ) 0Z T (t ) [ z1 (t ), z2 (t ), zm (t )] 且[ Z (t )]2 G[ x(t ), u (t ), t ] Z (t0 ) 0

于是,系统方程为:

x f ( x, , t ) Z 2 G( x, , t ) x(t 0 ) x0 z (t 0 ) 0 (t 0 ) 0终端时刻tf 未给定,终端约束

M [ x(t f ),t f ] 0使性能指标tf

要求确定最优控制 u

J [ x(t f ), t f ] 为极小

t0

F[ x(t ), (t ), t ]dt

引入拉格朗日乘子向量λ及Γ,写出增广性能指标泛函

J a [ x (t f ), t f ] v M [ x (t f ), t f ] {F [ x (t ), (t ), t ]T t0

tf

T [ f ( x, , t ) x ] T [G ( x, , t ) Z 2 ]}dt令哈密而顿函数为

H ( x, , , t ) F ( x, , t ) T f ( x, , t )拉格朗日纯量函数

( x, x, , z, , , t ) H ( x, , , t ) T x T [G( x, , t ) Z 2 ]则

J a [ x(t f ), t f ] v M [ x(t f ), t f ] ( x, x, , z, , , t )dtT t0

tf

对Jα取一阶变分得 J a [ M vT ] * tf t t t t f T M [ ( ) vT ]t t * x(t f * ) f x x x (t f * ) z (t f * ) z * tf d d T d T [( ) x ( ) ( ) z ]dt t0 x dt x dt dt z

令

J a 0欧拉方程

可得增广性能指标泛函取极值的必要条件为

d 0 x dt x

d 0 dt

d 0 dt z

横截条件:

M vT ] * 0 t t t t f M T [ ( ) v ] * 0 x x x t t f * 0 * 0 t t f z t t f [H

把Φ的表达式代入欧拉方程

:

横截条件:

H G T ( ) x x d d 0 0 dt dt z 由欧拉方程和横截条件知,最优轨线

H (t f ) [ *

M vT ]t t * f t t M T (t f * ) [ ( ) v]t t * f x x 0 * * z6

0 z

以上为使性能指标Jα取极值的必要条件,为使性能指标为极小,还必须满足维尔斯 特拉斯函数沿最优轨线非负的条件,即:

E ( x* , x, , z , * , * , t ) ( x* , x* , * , z * , * , * , t ) ( (0 或:

)( * ) ( * )(z z * ) 0 * z0T

T ) ( x x* ) x

-λ

*

E ( x* , x, , z , * , * , t ) * x { ( x* , x* , * , z * , * , * , t ) * x*} H ( x* , * , , t ) H ( x* , * , * , t ) 0 H ( x* , * , u , t ) H ( x* , * , u * , t )

即:

上式表明,沿最优轨线函数H相对最优控制u*(t)取绝对极小值,这是极小值原理的一 个重要结论.

由

H G T 0 ( ) 0 H G T ( ) u u

H 0 不再成立 上式表明,在有不等式约束的情况下,沿最优轨线 u

定理:(极小值原理)设系统的状态方程为

x(t ) f [ x(t ), u(t ), t ]控制u(t)是有第一类间断点的分段连续函数,属于p维空间中的有界闭集Ω ,满足不 等式约束:

G[ x(t ), u(t ), t ] 0在终端时刻tf 未知的情况下,为使状态自初态

x(t0 ) x0 转移到满足边界条件

M [ x(t f ),t f ] 0的终态,并使性能指标

J [ x(t f ),t f ] F[ x(t ),u(t ),t ]dtt0

tf

达极小值.设哈密而顿函数为

H F ( x, u, t ) T f ( x, u, t )

则最优控制u*(t),最优轨线x*(t)和最优伴随向量λ *(t)必须满足下列条件: (1).沿最优轨线满足正则方程:

H H G T ( ) x x x

式中Γ 是与时间t无关的拉格朗日乘子向量,其维数与G相同,若G中不包含x,则:

(2)横截条件及边界条件:

M T ( ) v]t t f x x M T [ H ( x, u , , t ) ( ) v]t t f 0 t t x(t0 ) x0 M [ x(t f ), t f ] 0

H x

(t f ) [

(3)在最优轨线x*(t)上与最优控制u*(t)相对应的H函数取绝对极小值,即

H ( x* , * , u* , t ) H ( x* , * , u, t )并且沿最优轨线,下式成立

H G T ( ) u u上述条件与不等式约束下的最优控制的必要条件相比较,横截条件及端点边 界条件没有改变,仅

H 0 u

这一条件不成立,而代之以与最优控制相对应的函数为绝对极

小,其次是正则 方程略有改变,仅当G中不包含x时, 方程才不改变.

当 t0和x(t0)给定,根据tf给定或自由, x(tf)给定,自由或受约束等不同情况下所导 出的最优解必要条件列表如下: 终 端 状 态 固

性能指标

正则方程

极值条件

边界条件与横截条件

J [ x (t f )] 定tf 给 定

tf

t0

F [ x, u , t ]d t自 由 约 束

H x H x G ( )T x H F ( x, u , t ) T f ( x, u , t ) 若 G (u , t ) 0 H 则 x

H* min H [H H ( x * , u * , * , t ), H H ( x * , u, * , t )]u *

x(t0 ) x0 x(t f ) x fx(t0 ) x0 (t f ) x(t f )x (t 0 ) x0 M [ x (t f )] 0 (t f ) [ M T ( ) v ]t f x x12

性能指标

终 端 状 态

正则方程

极值条件

边界条件与横 截条件x ( t 0 ) x0 x (t f ) x f

tf 给 定

tf

t0

J 固 F [ x, u , t ]dt定 自 由

H H x G ( )T x H F ( x, u , t ) T f ( x, u , t ) x 若 G (u , t ) 0 H 则 x

H* min H [H H ( x * , u * , * , t ), H H ( x * , u, * , t )]u *

(t f )未知

x(t0 ) x0

(t f ) 0

约束

x(t0 ) x0 M [ x(t f )] 0 (t f ) [( M T ) v]t f x13

性能指标

终 端 状 态

正则方程

极值条件

边界条件与横截条件x(t0 ) x0 x(t f ) x fx(t0 ) x0 (t f ) …… 此处隐藏：2789字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……