第一节 向量的内积

§1 向量的内积一、向量内积的定义和性质 二、向量的长度和性质 三、向量的正交性及其性质

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一、向量内积的定义和性质1. 向量内积的定义

a1 n 维列向量: , an

b1 . bn

定义1. 记 [ , ] a1b1 anbn ,即 [ , ] ' . 称为 与 的内积.2

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b1 , a1 , an ' . bn 注意:

b1 a a ' , . 1 n bn 3

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2. 性质:

, , ; (2). , , , ; (3). , , ; 2 2 2 例. ' a1 a2 an .即 : (1).4

(1). ' ' . ( 2). ( )' ' ' . ( 3). ( )' ( ' ).

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二、向量的长度和性质定义2.

' a a a2 1 2 2

2 n

称为长度(或范数). 性质1.

' a a a .2 1 2 2 2 n

2

性质2. 当 0 时, ' 0.

当 0 时, ' 0. 性质3. 对 , R, 有 . 性质4. 对 , , 有 .5

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当 1 时, 称 为单位向量.2 2 注意: 为单位向量 a1 an 1.

1 例. 把向量 1 单位化. 1

12 12 12 3. 1 1 1 1 3 1 1 / 3 是单位向量. 1 / 3 1 / 3 6

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许瓦兹不等式和夹角 许瓦兹不等式: 对任意向量 , , 有

,

.

定义3. 非零n维向量 与 的夹角 , [ , ] . 0 , . 规定为: , arccos 例.求向量 1,2,2,3 与 3,1,5,1 的夹角.

解: cos

18 2 3 2 6 27

. 4返回

三、向量的正交性及其性质 若内积 ' 0, 则称 与 正交.注意: ' 0

a1b1 a2b2 anbn 0. 当 0 时, ' 0. 零向量与任何向量都正交. 定理一. 若 1 , , r 是一组两两正交的非零向量, 则 1 , , r 线性无关. 证明: 反证: 若有不全为零的数 k1 , , kr , 使 k1 1 kr r 0.8

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不妨设 k1 0. 以 ' 左乘上式两边, 得 k1 1 ' 1 k2 1 ' 2 kr 1 ' r 0.

即 k1 ( 1 ' 1 ) 0. 但 1 ' 1 0. ( 1 0.) k1 0. 矛盾! 故 1 , , r 线性无关.则 与 1 , , r 的任一

线性组合 k1 1 kr r 也正交.9

证毕.

定理二.若向量 与 1 , , r 分别都正交,

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正交规范基定义5. 设V 是 r 维的向量空间, 向量组 e1 , , er 是V 的一个基. 如果 e1 , , er 两两正交,则称 e1 , , er 是 V 的一个正交基.

如果e1 , , er 两两正交, 且都是单位向量, 则称e1 , , er 是V 的一个正交规范基.

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求向量空间的正交规范基方法: 设 1 , , r 是向量空间 V 的一个基, 现在将其正交规范化. 第一步: 将 1 , , r 正交化. 取 1 1 ;

1 , 2 2 2 1 , 1 , 1 [ 1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 3 3 1 2 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ]

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[ 1 , r ] [ 2 , r ] r r 1 2 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ] [ r 1 , r ] r 1 [ r 1 , r 1 ]

则 1 , , r 两两正交.第二步：单位化. 取

1 2 r e1 , e2 , , er , 1 2 r

则 e1 , e2 , , er 为向量空间V 的一个正交规范基 .

以上所讨论的正交规范基的求法, 通常称为施密特 (Schmidt)正交化过程.12

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1 2 1 1 1 1 再 单 位 化: 取 e1 b1 b2 1 , e2 1 . b1 b2 3 6 1 1 e1 , e2 即为所求. 1 例 已知a1 1 , 求向量 a 2 , a 3使a1 , a 2 , a 3为正交 向量组. 1 返回 13

1 1 例 把向量组a1 1 , a 2 1 规范正交化. 1 1 解 正交化：取 b1 a1 ; 1 2 1 1 2 [a 2 , b1 ] b2 a 2 b1 1 1 1 . [b1 , b1 ] 1 3 3 1 1

解 因为向量 a 2 , a 3都与向量 a1正交 , 所以对齐次方程组

x1 x 2 x 3 0

取它的一个基础解系

1 1 b2 1 , b3 0 0 1 再把b2 , b3正交化即为所求a2 , a3 . 也就是取 1 1 1 1 1 1 [a 2 , b3 ] a 2 b2 1 , a 3 b3 a2 0 1 1 . [a 2 , a 2 ] 0 1 2 0 2 2 向量组 a1 , a2 , a3 是所求正交向量组.

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如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E , 那么称 A 为正交矩阵. 例 cos sin sin , cos

定义

1 0 0

0 1 1 2 2

0 1 , 2 1 2

0 1 0 0 0 1 0 1 0

都是正交矩阵. n 阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列(行)向 量

组是规范正交向量组. 或者说, n 阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列 (行)向量组构成向量空间 Rn 的一个 规范正交基. 设n 阶矩阵 A = ( a1 , a2 , ……, an ) , 其中 a1 , a2 , ……, an 是 A的列向量组. A为正交矩阵，即是 返回15

a a T E A A a1 a 2 aT n 1, 当 i j ; T 亦即 a i a j 0, 当 i j .T 1 T 2

T a1 a T 1 a 2 a1 a n aT a n 1

T T a1 a 2 a1 an T T a 2 a 2 a 2 an T T an a 2 an an

i , j 1, 2, , n.

由此可见， A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列(行)向量 组是规范正交向量组.

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