河南省商丘市2015届高三第二次模拟考试数学(文)试题(扫描版)

商丘市2015年第二次模拟考试

高三数学（文科）参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

BACA CDBC DABD

二、填空题（每小题5分，共20分） (13) (14) (15) (16)

三、解答题（共70分）

(17)解：（I）等差数列中，公差,

. ……………………5分

. ……………………………………6分

(II) , ……………………………8分

…………………10分

. …………………………………12分

(18)解：（Ⅰ）A组学生的平均分为（分），……1分

∴组学生平均分为86分，设被污损的分数为x，

由

， ∴

故， …………………3分 组学生的分数分别为93，91，88，83，75， ……………4分 则在组学生随机选1人所得分超过85分的概率． ………6分

（Ⅱ）A组学生的分数分别是94，88，86，80，77，

在A组学生中随机抽取2

名同学，其分数组成的基本事件

(94,88),(94,86),(94,80),

(94,77),(88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77)共10个，…8分 有

随机抽取2名同学的分数满足的事件有

(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)共6

个．……………………10分 故学生得分满足的概率． …………12分

（19）（Ⅰ）证明：取的中点，连接．

∵，∴, ……………………1分

又四边形是菱形，且，

∴是等边三角形，∴.…………2分

又 ，∴， 又，∴. ……………4分

(II

) .………6分

是边长为的正三角形，

又

, ,

分 ,又,平面， ……8

四边形是菱形

,到平面的距离相等，设为

,.

由,, …………………10分

. …………………12分

（20）解：（I）时，

又 在点

，处的切线斜率， …1分

……………………2分 切线方程为，即.…………………4分

（II

），，

， ……………………6分

依题意

， …………………………………………………7分

令 …………………8分

由

得

时，在上为增函数.…9分

…………10分

……………12分

（21）解：（Ⅰ）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为, ∴圆心到直线的距离（*）…1分 ∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, ∴,， 代入(*)式得， ∴, 故所求椭圆方程为 ………………………4分

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设, 将直线方程代入椭圆方程得：, ∴，∴. 设,，则. ……6分

由, 当,直线为轴，点在椭圆上适合题意； ……7分

当，得

∴.……………8分 将上式代入椭圆方程得：， 整理得：，由

知，，………… 10分 所以，…………………11分 综上可得. …………………………12分

（22）解：（Ⅰ）∵与⊙相切于点，

∴.……………2分

又，

∴，

∴

. ……………………………………………5分

（Ⅱ）∵四边形内接于⊙，

∴. …………………………………………6分 又，

∴∽.…………………………………………8分 ∴，即，

∴. ………………………………………10分

（23） 解：（Ⅰ），，…………3分

，即.………………5分

（Ⅱ）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为， 所以，曲线上的点到直线的距离

. ………10分

解法二：曲线为以为圆心，为半径的圆.圆心到直线的距离为， 所以，最大距离为. ………10分

（24） 解：（Ⅰ）不等式可化为， …………1分 ∴，即， ………2分 ∵其解集为，∴ ，.……………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

（方法一：利用基本不等式）

∵

，

∴

，∴的最小值为.……………………10分

. （方法二：利用柯西不等式）

∵

，

∴

，∴的最小值为.……………10分

（方法三：消元法求二次函数的最值） ∵，∴， ∴， ∴

的最小值为. ………………………………10分