2015年全国高中数学联合竞赛一试解答(A卷)

2015年全国高中数学联合竞赛一试解答(A卷)

2015年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）

参考答案及评分标准

说明：

1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1. 设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x) x2 ax b满足f(a) f(b)，则f(2)的值为 ．

答案：4．

解：由已知条件及二次函数图像的轴对称性，可得

a ba

，即2a b 0，所以 22

f(2) 4 2a b 4．

1

cos4 的值为 sin

2. 若实数 满足cos tan ，则答案：2．

解：由条件知，cos2 sin ，反复利用此结论，并注意到cos2 sin2 1，得

1cos2 sin2 4

cos sin2 sin sin (1 sin ) (1 cos2 ) 2 sin cos2 2．

3. 已知复数数列{zn}满足z1 1,zn 1 zn 1 ni(n 1,2, )，其中i为虚数单位，zn

表示zn的共轭复数，则z2015的值为

答案：2015 1007i．

解：由已知得，对一切正整数n，有

zn 2 zn 1 1 n 1 i zn 1 ni 1 n 1 i zn 2 i，

于是z2015 z1 1007 2 i 2015 1007i．

4. 在矩形ABCD中，AB 2,AD 1，边DC上（包含点D、C）的动点P与CB延

长线上（包含点B）的动点Q满足DP BQ，则向量PA与向量PQ的数量积PA PQ的最小值为 ．

3

答案：．

4

解：不妨设A(0,0),B(2,0),D(0,1)．设P的坐标为(t,1)（其中0≤t≤2），则由

DP BQ得Q的坐标为(2, t)，故PA ( t, 1),PQ (2 t, t 1)，因此

2

1 2 t 3 3． PA PQ ( t) (2 t) ( 1) ( t 1) t t 1

2 44

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当t

31

时， PA PQ ．

min42

5. 在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为．

2

答案：．

55

解：设正方体为ABCD EFGH，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有

3C12 220种．

下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即，具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个AB、AD、AE的方向）

不同的方向．可先取定AB方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB，则AD方向只能取棱EH或棱FG，共2种可能．当AD方向取棱是EH或FG时，AE方向取棱分别只能是CG或DH．

由上可知，3条棱两两异面的取法数为4 2 8，故所求概率为6. 在平面直角坐标系xOy中，点集K (x,y)应的平面区域的面积为 ．

答案：24．

解：设K1 (x,y)x 3y 6 0 ．先考虑K1

在第一象限中的部分，此时有x 3y 6，故这些点对应于图中的 OCD及其内部．由对称性知，K1对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部．

同理，设K2 (x,y)3x y 6 0 ，则K2对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部．

由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被

82

．

22055

x 3y 6 3x

y 6 0 所对

K1、K2中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S．

由于直线CD的方程为x 3y 6，直线GH的方程为3x y 6，故它们的交点P的 33 坐标为 , ．由对称性知， 22

13

S 8S CPG 8 4 24．

22

7. 设 为正实数，若存在a,b( a b 2 )，使得sin a sin b 2，则 的取值 范围是 ．

95 13

答案： , , ． 42 4

解：由sin a sin b 2知，sin a sin b 1，而[ a, b] [ ,2 ]，故题目条件等价于：存在整数k,l(k l)，使得

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2l 2 ．

22

当 4时，区间[ ,2 ]的长度不小于4 ，故必存在k,l满足①式．

2k

当0 4时，注意到[ ,2 ] (0,8 )，故仅需考虑如下几种情况：

①

5 15 2 ，此时 且 ，无解； 22245 9 95

(ii) 2 ，此时有 ；

4222

9 13 13139

(iii) 2 ，此时有 ，得 4．

22442

(i)

95 13

． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到 4亦满足条件，可知 , , 42 4

8. 对四位数(1 a 9,0 b,c,d 9)，若a b,b c,c d，则称为P类数；若a b,b c,c d，则称abcd为Q类数．用N(P)与N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P) N(Q)的值为 ．

答案：285．

解：分别记P类数、Q类数的全体为A、B，再将个位数为零的P类数全体记为A0，个位数不等于零的P类数全体记为A1．

对任一四位数 A1，将其对应到四位数，注意到a b,b c,c d 1，故反之，每个 B唯一对应于A1中的元素abcd．这建立了A1与B之间的一一 B．对应，因此有

N(P) N(Q) A B A0 A1 B A0．

由b a 9下面计算A0：对任一四位数abc0 A0，b可取0,1, ,9，对其中每个b，及b c 9知，a和c分别有9 b种取法，从而

A0 (9 b) k2

2

b 0

k 1

99

9 10 19

285． 6

因此，N(P) N(Q) 285．

二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9.（本题满分16分）若实数a,b,c满足2a 4b 2c,4a 2b 4c，求c的最小值． 解：将2a,2b,2c分别记为x,y,z，则x,y,z 0． 由条件知，x y2 z,x2 y z2，故

z2 y x2 (z y2)2 z2 2y2z y4． …………………8分

因此，结合平均值不等式可得，

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1y4 y1 11 2 ． z 2y 2 2y4 y

y 4 …………………12分

1． 当2y ，即yz

（此时相应的x

y

5． …………………16分 由于c log2z，故c

的最小值为log2log3 23

2

10. （本题满分20分）设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得

aiaj

求a1 a2 a3 a4的值.

31

1 i j 4 24, 2, , ,1,3 ，

28

解：由条件可知，且其中没有两个为相反数，aiaj(1≤i<j≤4) 是6个互不相同的数，由此知，a1,a2,a3,a4的绝对值互不相等，不妨设a1 a2 a3 a4，则

aiaj(1≤i<j≤4)中最小的与次小的两个数分别是a1a2及a1a3，最大与次大的两个

数分别是a3a4及a2a4，从而必须有

1 ,aa 12 8 a1a3 1, a2a4 3, a3a4 24,

…………………10分 于是a2

113

,a3 ,a4 24a1.故 8a1a1a2

13 2 {a2a3,a1a4} , 24a 2, ， …………15分 12

2 8a1

1

结合a1 ，只可能a1 .

4

1111

由此易知a1 ,a2 ,a3 4,a4 6或者a1 ,a2 ,a3 4,a4 6．经

4242

检验知这两组解均满 …… 此处隐藏：2593字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……