圆锥曲线问题解题方法

很重要的

圆锥曲线问题解题方法

圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义，灵活解题

灵活运用定义，方法往往直接又明了。

y2

1

，P为双曲线上一点。 例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线x

3

1

求|PA| |PF|的最小值。

2

2

解析：如图所示，

双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知

1

|PF|即点P到准线距离。 2

|PA|

15

|PF| |PA| |PE| AM 22

二. 引入参数，简捷明快

参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 例2. 求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解：取如图所示的坐标系，设点F到准线l的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数）

b

，而c t c2

b pc pt

2

p

再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则

x c t

y b pt

2

消去t，得轨迹方程y px

三. 数形结合，直观显示

将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例3. 已知x,y

R，且满足方程x2 y2 3(y 0)，又m

y 3

，求m范围。 x 3

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解析： m斜率，如图所示

y 322

的几何意义为，曲线x y 3(y 0)上的点与点（－3，－3）连线的x 3

kPA m kPB

3 3 5

m

22

四. 应用平几，一目了然

用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

OQ|的值为________。 y2 4和直线y mx的交点为P、Q，则|OP||

解： OMP~ OQN |OP|| OQ| |OM|| ON| 5

例4. 已知圆(x 3)

五. 应用平面向量，简化解题

向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

2

x2y2xy 1，直线l： 1，P是l上一点，射线OP交椭圆于一点R，例5. 已知椭圆：

1282416

点Q在OP上且满足|OQ|| OP| |OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。

解：如图，OQ，OR，OP共线，设OR OQ，OP OQ，OQ (x，y)，则

OR ( x， y)，OP ( x，

y)

2|OQ|| OP| |OR|

2 2

2

|OQ| |OQ|

2

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点R在椭圆上，P点在直线l上

2x2

24

2y2

16

1，

x

12

y

8

1

x2y2xy 即

2416128

化简整理得点Q的轨迹方程为：

(x 1)2(y 1)22

1（直线y x上方部分） 55323

六. 应用曲线系，事半功倍

利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。 例6. 求经过两圆

x2 y2 6x 4 0和x2 y2 6y 28 0的交点，且圆心在直线

x y 4 0上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：

x2 y2 6x 4 (x2 y2 6y 28) 0

22

(1 )x (1 )y 6x 6 y (28 4) 0

3 3

，)，在直线x y 4 0上 则圆心为(

1 1

解得 7

22

故所求的方程为x y x 7y 32 0

七. 巧用点差，简捷易行

在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。

y2

1相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。例7. 过点A（2，1）的直线与双曲线x 2

解：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则

2

2y12

x 1 12 2

y2 x 2 12 2

(x2 x1)(x1 x2)

1

2

<2>－<1>得

即

(y2 y1)(y1 y2)

2

y2 y12(x1 x2)

x2 x1y1 y2

M(x0，y0)，则

y2 y12x0

kPP 12

x2 x1y0y0 1

又kAM ，而P1、A、M、P2共线

x0 2

y0 12x0

kPP kAM，即 12

x0 2y0

设P1P2的中点为

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P1P2中点M的轨迹方程是2x

2

y2 4x y 0

解析几何题怎么解

高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识

点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.

例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB为直腰作直角梯形

AA B B，使AA 垂直且等于AT，使BB 垂直且等于BT，A B 交半圆于P、Q两点，建立如图

所示的直角坐标系. (1)写出直线

A B 的方程； （2）计算出点P、Q的坐标；

'

'

（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出A,B点的坐标. (1 ) 显然A

'

‘

于是 直线A B 1,1 t , B 1，1 t ，

的方程为y tx 1；

x2 y2 1,2t1 t2

,)； （2）由方程组 解出P(0,1)、Q(22

1 t1 t y tx 1,

1 01

, kQT

0 tt

1 t2

01 t211 t. tt(1 t) t

1 t2

（3）kPT

由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

x2y2

例2 已知直线l与椭圆2 2 1(a b 0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，

ab

求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．

讲解：从直线l所处的位置, 设出直线l的方程,

由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为y kx m(k 0). 代入椭圆方程b2x2 a2y2 a2b2， 得 b2x2 a2(k2x2 2kmx m2) a2b2. 化简后，得关于x的一元二次方程 (a2k2 b2)x2 2ka2mx a2m2 a2b2 0. 于是其判别式 (2ka2m)2 4(a2k2 b2)(a2m2 a2b2) 4a2b2(a2k2 b2 m2). 由已知，得△=0．即ak b m. ① 在直线方程

2

2

2

2

y kx m中，分别令y=0，x=0，求得R(

m

,0),S(0,m). k

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my x ,k , kx 令顶点P的坐标为（x，y）， 由已 …… 此处隐藏：6013字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……