运筹学习题答案(第二章)

清华大学出版社 胡运权《运筹学》第二版部分课后习题答案,基本囊括了主要学习章节的题目

运筹学教程(第二版) 运筹学教程(第二版) 习题解答安徽大学管理学院

洪 文电话: 电话:5108157(H),5107443(O) , E-mail: Hongwen9509_cn@http://www.77cn.com.cn

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第二章习题解答2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题. 写出下列线性规划问题的对偶问题.min Z = 2 x1 + 2 x 2 + 4 x 3 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 ≥ 2 2 x + x + 3x ≤ 3 2 3 st 1 x1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 5 x1 , x 2 , ≥ 0 , x 3 无约束

(1)

max W = 2 y1 + 3 y 2 + 5 y3 y1 + 2 y 2 + y3 ≤ 2 对偶问题 : 3 y1 + y 2 + 4 y3 ≤ 2 st 4 y1 + 3 y 2 + 3 y3 = 4 y1 ≥ 0, y 2 ≤ 0, y3无限制 page 2 7 July 2010

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第二章习题解答max Z = 5 x1 + 6 x2 + 3 x3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 5 x + 5 x 3 x ≥ 3 2 3 st 1 4 x1 + 7 x2 + 3 x3 ≤ 8 x1无约束 , x2 , ≥ 0, x3 ≤ 0

( 2)

max W = 5 y1 + 3 y 2 + 8 y3 y1 y 2 + 4 y3 = 5 对偶问题: 2 y1 + 5 y 2 + 7 y3 ≥ 6 st 2 y1 3 y 2 + 3 y3 ≤ 3 y1无约束 , y 2 ≤ 0, y3 ≥ 0 page 3 7 July 2010

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第二章习题解答min Z = ∑ ∑ cij xiji =1 j =1 m n

( 3)

n (i = 1, L , m ) ∑ xij = a i = jn 1 st ∑ xij = b j ( j = 1, L , n ) . i =1 (i = 1, L , m , j = 1, L , n ) xij ≥ 0

max W = ∑ a i y i + ∑ b j y j + m 对偶问题: y i + y j + m ≤ cij (i = 1, L , m , j = 1, L , n ) st . y i 无限制, i = 1, L , n + mpage 4 7 July 2010i =1 j =1

m

n

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第二章习题解答max Z = ∑ c j x jj =1 m

n (i = 1,L , m1 < m) ∑ aij x j ≤ bi = jn 1 ( 4) st ∑ aij x j = bi (i = m1 + 1, m1 + 2, L , m) j =1 x j ≥ 0 ( j = 1, L , n1 , < n), x j 无约束( j = n1 + 1, L , n)

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第二章习题解答min W = b1 y1 + b2 y2 + L + bm ym m ( j = 1,2,L , n1 ) ∑ aij yi ≥ c j = im1 对偶问题: ( j = n1 + 1, n1 + 2, L , n) st ∑ aij yi = c j i =1 yi ≥ 0 (i = 1,L , m1 ) y 无约束(j = m + 1,L , m) 1 i

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第二章习题解答2.2 判断下列说法是否正确,为什么 判断下列说法是否正确,为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行解,则其对偶 如果线性规划的原问题存在可行解, 如果线性规划的原问题存在可行解 问题也一定存在可行解; 问题也一定存在可行解; 不对!如原问题是无界解, 答:不对!如原问题是无界解,对偶问题无可行 解. (2)如果线性规划的对偶问题无可行解,则原问题 如果线性规划的对偶问题无可行解, 如果线性规划的对偶问题无可行解 也一定无可行解; 也一定无可行解; 不对!道理同上. 答:不对!道理同上.

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第二章习题解答(3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中,不管 在互为对偶的一对原问题与对偶问题中, 在互为对偶的一对原问题与对偶问题中 原问题是求

极大或极小, 原问题是求极大或极小,原问题可行解的目标函数值 一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值; 一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值; 不对!如果原问题是求极小,结论相反. 答:不对!如果原问题是求极小,结论相反. (4)任何线性规划问题具有惟一的对偶问题. 任何线性规划问题具有惟一的对偶问题. 任何线性规划问题具有惟一的对偶问题 结论正确! 答:结论正确!

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第二章习题解答2.3 已知某求极大化线性规划问题用单纯形 法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表 所示,求表中各括弧内未知数的值. 所示,求表中各括弧内未知数的值. 解: l=1, k=0 , h=-1/2, a=2, c=3, b=10, e=5/4, f=-1/2, d=1/4, g=-3/4, i=-1/4, j=-1/4

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CB 0 0 0 ┆ 0 3 2

Cj→ 基 X1 X2 X3 Cj-Zj

b (b) 15 20

3 X1

2 X2

2 X3 1 2 1 2

0 X4 1 0 0 0

0 X5 0 1 0 0

0 X6 0 0 1 0

1 1 (a) 1 2 (c) 3 2

┆ ┆ ┆ ┆ ┆ X4 5/4 0 0 (d) X1 25/4 1 0 (e) X2 5/2 0 1 (f) 0 (k) (g) Cj-Zj

┆ ┆ ┆ (l) -1/4 -1/4 0 3/4 (i) 0 (h) 1/2 0 -5/4 (j)

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第二章习题解答2.4 给出线性规划问题

min Z = 2 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 + 6 x 4 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 ≥ 2 st . 2 x1 + x 2 x 3 + 3 x 4 ≤ 3 x j ≥ 0 , ( j = 1, L , 4 ) (1)写出其对偶问题;(2)用图解法求解对偶问题; 写出其对偶问题; 用图解法求解对偶问题 用图解法求解对偶问题; 写出其对偶问题 (3)利用 的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优 利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优 利用 解.

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第二章习题解答min W = 2 y 1 3 y 2 y1 2 y 2 ≥ 2 2 y + y ≥ 3 1 2 st . 3 y 1 y 2 ≥ 5 y + 3 y ≥ 6 2 1 y1 ≤ 0 , y 2 ≥ 0

(1 ) 对偶问题:

(2) 最优解是:y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值 最优解是: 目标函数值-19/5. 目标函数值 . (3)由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零,原问题中的约 由于 都不等于零, 都不等于零 束取等号.又上面第4个约束不等号成立 个约束不等号成立, 束取等号.又上面第 个约束不等号成立,故x4=0,令 , x3=0就可以得到最优解: x1=8/5,x2=1/5. 就可以得到最优解: 就可以得到最优解 .page 12 7 July 2010

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