2013年高考数学试题(江苏卷)

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。

1、函数)42sin(3π

+=x y 的最小正周期为 ▲

2、设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲

3、双曲线19

162

2=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ 4、集合}1,0,1{-共有 ▲ 个子集

5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ （流程图暂缺）

6

则成绩较为稳定（方程较小）的那位运动员成绩的方差为 ▲

7、现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取， 则n m ，都取到奇数的概率为 ▲

8、如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，

的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体

积为2V ，则=21:V V ▲ 9、抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含

三角形内部和边界）。若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+

10、设E D ，分别是ABC ?的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=若21λλ+=（21λλ，为实数），则2

1λλ+的值为 ▲ 11、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解 集用区间表示为 ▲

12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122

22>>=+b a b

y a x ，右焦点为F ， 右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ， 若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ▲

13、在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数x

y 1=（0>x ）图象上一动点， 若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲

14、在正项等比数列}{n a 中，215=

a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ▲

A 1C

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15、（本小题满分14分）

已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0。

（1）若2||=

-b a ，求证：b a ⊥；

（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值。

16、（本小题满分14分） 如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，

BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ， 点G E ，分别是棱SC SA ，的中点。

求证：（1）平面//EFG 平面ABC ；

（2）SA BC ⊥。

17、（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l 。 设圆C 的半径为1，圆心在l 上。 （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，

求切线的方程；

（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐 标a 的取值范围。

18、（本小题满分16分）

如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C 。现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m 。在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C 。假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，

1312cos =

A ，5

3cos =C 。 （1）求索道AB 的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，

乙步行的速度应控制在什么范围内？

A B C S G F E

C B A

19、（本小题满分16分）

设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和。记c n nS b n n +=

2，*N n ∈， 其中c 为实数。

（1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（*,N n k ∈）；

（2）若}{n b 是等差数列，证明：0=c 。

20、（本小题满分16分）

设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x -=)(，其中a 为实数。

（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围；

（2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论。