快速学习奈氏图判断稳定性

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奈奎斯特稳定判据

第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方 程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判 断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很 困难，前面介绍了基于特征方程的根与系数关系的劳斯判据。

奈奎斯特( Nyquist )稳定判据(简称奈氏判据)是判断 系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 G( j ) H ( j ) 与复变函数 F ( s) 1 G( s) H ( s) 位于S平面右半部的零、 极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法，它依 据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解析法 或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方 便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。

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一、幅角定理(Kauthy 幅角定理)幅角定理又称映射定理，它是建立在复变函数理论基础上的。由于奈氏判 据是以幅角定理为依据的，因此有必要先简要地介绍幅角定理。 设有一复变函数

F ( s) 1 G( s) H ( s)称之为辅助函数，其中 G ( s ) H ( s )是系统的开环传递函数. 通常可写成如下形式

bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 G( s) H ( s) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )式中 是系统的开环极点，将式(4-106)代入式(4-105)得F ( s) k ( s z1 )( s z 2 ) ( s z n ) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )

比较式(4—107)和式(4—106)可知， 辅助函数 F ( s ) 的零点 Z i (i 1,2, , n) 即闭环传递函数的极点，即系统特征 方程 1 G( s) H ( s) 0 的根。因此，如果辅助函数 F ( s )的零点都具有负的实部，即 都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。

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(一)S平面与 F ( s )平面的映射关系假设复变函数F s 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则 函数,也就是说 F s 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析 点，在 F ( s )平面上必有一点(称为映射点)与之对应。 例如，当系统的开环传递函数为G( s) H ( s) 1 s( s 1)

则其辅助函数是

s2 s 1 F ( s) 1 G( s) H ( s) s( s 1)除奇点 s 0 和 s 1 外，在S平面上任取一点，如s1 1 j 2

则(1 j 2) 2 (1 j 2) 1 F ( s1 ) 0.95 j 0.15 (1 j 2)(1 j 2 1)

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如图4—37所示，在 F ( s ) 平面上有点 F (s1 ) 0.95 j 0.15 与S平面上的点s1 对应,F ( s1 )就叫做 s1 1 j 2 在 F ( s )平面上的映射点。

j j2s' 's1

S

Im

F S

s'0

1

1

0

0.95

0.15F ( s1 )

Re

图4-37

S平面上的点在F(S)平

面上的映射

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如图4—38所示，如果解析点 s1 在S平面上沿封闭曲线 s( s 不经过F ( s ) 的奇点) F ( s ) 平面上的映射也是一条封闭曲 F (s) 按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数 在 线 ，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这要依据辅助函数 F 的性质而定。 F (s)

j S1Z13 Z3 P

S F (S2 )

Im

F (S ) F ( S3 )

P 2

S2Z2

P 10

F (S1 )

0

Re

S3

s

F

(a)图4-38 S平面到F(s)平面的映射

(b)

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(二)幅角定理(映射定理)设 F ( s )在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在S平面上任选一封闭曲线 s,并使 s不通过 F ( s ) 的奇点，则S平面上的封闭曲线 s 映射到F(s) 平面上也是一条封闭曲线 F。当解析点s按顺时针方向沿 s 变化一周时，则在F ( s ) 平面上， F 曲线按逆时针方向绕原点的周数N等于封闭曲线 s内包含F(s) 的极点数 P与零点数Z之差。即 N=P-Z (4—108) 式中，若N>0,则 F按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N<0,则 F按顺时针 绕 F(s)平面坐标原点N周；且若 N=0,则 F不包围F(s)平面坐标原点。 在图4—38中,在S平面上有三个极点P1、P2 、P3和三个零点Z1、Z2、Z3 。被 s 曲线包围的零点有Z1、Z2两个，即Z=2,包围的极点只有P2 ,即P=1,由式(4—108) 得 N=P-Z=1-2=-1 说明 s 映射到 F(s)平面上的封闭曲线 F顺时针绕F(s)平面原点一周。 由幅角定理，我们可以确定辅助函数 F ( s ) 被封闭曲线 s 所包围的极点数P与零 点数 Z的差值P-Z。

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前面已经指出， F ( s ) 的极点数等于开环传递函数 G(s) H (s) 的极点数，因此 当从 F ( s) 平面上确定了封闭曲线 F 的旋转周数N以后，则在 S 平面上封闭 曲线 s 包含的零点数Z(即系统的闭环极点数)便可简单地由下式计算出来 Z=P-N (4-109)

封闭曲线 s和 F 的形状是无关紧要的，因为它不影响上述结论。关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简 单说明。 设有辅助函数为F ( s) ( s z1 )( s z 2 )( s z 3 ) ( s p1 )( s p 2 )( s p3 )

(4-110)

其零、极点在S平面上的分布如图 4—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线 s ,

s不通过上述零、极点，在封闭曲线 s 上任取一点S1 , 其对应的辅助函数 F (s1 )的幅角应为 F ( s1 ) ( s1 z j ) ( s1 pi )j 1 i 1 3 3

(4-111)

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当解析点s1沿封闭曲线 s按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现， 所有位于封闭曲线 s 外面的辅助函数的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0,而位 于封闭曲线 s 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向转过2pi弧度(一

周)。这样，对图4—39(a),Z=1,P=0, F (s1 ) 2 ,即N=-1, F (s1 )绕 F ( s) 平面原点 顺时针旋转一周；对图4—39(b),Z=0,P=1, F (s1 ) 2 ,即N=1, F (s1 ) 绕 F ( s) 平面 原点逆时针旋转一周；对图4—39(c),Z=1,P=1, F (s1 ) 0 ,即N=0,F (s1 ) 不包围 平面原点。将上述分析推广到一般情况则有

F ( s) 2 ( P Z ) 2 N由此得到幅角定理表达式为Z1

(4-112) (4-113)

N=P-Zj p10

Im

z3 p 3s1 z 3

s1 p3 s1 p2

p2

s1 z1S1 P 1

F s F ( s1 )

s1s1 z 2

Rez2N 1 F s 图 4-39 (a) Z 1 、P 0、N 1 、 F (S1 ) 2

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Z1

S1

j

S

Im

F (S ) F ( S1 )

Z3

P 3

P2Z2

0

P 1

s

0

Re

FN 1

图 4-39

(b)Z 0、P 1 、N 1 、 F (S1 ) 2

j S1

S P 1

Im

F (S ) F

s

Z3

P3

P2 Z2

0

0

F ( S1 )Re

N 0

图 4-39 (c)Z 1、P 1、N 0、 F (S1 ) 0

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二、基于辅助函数 F ( s )的奈氏判据为了分析反馈控制系统的稳定性，只须判断是否存在S平面右半部的闭环极点。 为此 …… 此处隐藏：4938字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……