【高考第一轮复习数学】三角函数、统计概率、数列精选模拟考题

1.在中, sinA cosA 解法一:

2

,AC=2, AB=3, 求tgA的值和△ABC的面积. 2

∵sinA cosA ∴cos(A 45 ) 又0 <A<180 ,

2cos(A 45 ) 1. 2

2, 2

∴A 45 60 ,A 105 . ∴tgA tg(45 60 )

=

1 1 2

sinA sin105 sin(45 60 )

=sin45 cos60 cos45 sin60 =

2 6

4

3

(2 ). 4

解法二:

∵ sinA cosA

2

2

, ① 21, 2

∴(sinA cosA)

∴2sinAcosA .

又∵0 <A<180 , ∴sinA>0, cosA<0. ∵(sinA cosA) 1 2sinAcosA

2

1

2

3, 2

∴ sinA cosA

6

. ② 2

①+②得 sinA

2 6

. 42 . 4

①--②得cosA

∴tgA

sinA2 64

2 . cosA42 6

1

，乙每次击中目标的概率为2

(以下同解法一)

2. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为

2. 3

（Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ； （Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率；

（Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.

133113

P( C30()3 ;P( 1 C3() ;

28 28 解：（I）

133313

P( 2 C32()3 ;P( 3 C3() ;

28 28

的概率分布如下表：

11331

E 0. 1. 2. 3. 1.5(或E 3. 1.5.)

28888

19323

. （II）乙至多击中目标2次的概率为1 C3()

327

（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A,甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次

为事件B1,甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2,则A B1 B2.

B1,B2为互斥事件.

31121

P(A) P(B1) P(B2) . . .

8278924

1

所以,甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.

24

3. 数列

an

中，a1 2an 1 an cn（c是常数，

A

n 1，2，3， ），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．

（I）求c的值；

（II）求 an 的通项公式．

D

CB

解：（I）a1 2，a2 2 c，a3 2 3c， 因为a1，a2，a3成等比数列， 所以(2 c)2 2(2 3c)， 解得c 0或c 2．

当c 0时，a1 a2 a3，不符合题意舍去，故c 2． （II）当n≥2时，由于

a2 a1 c， a3 a2 2c，

an an 1 (n 1)c，

所以an a1 [1 2 (n 1)]c

n(n 1)

c． 2

又a1 2，c 2，故an 2 n(n 1) n2 n 2(n 2，3， )． 当n 1时，上式也成立， 所以an n2 n 2(n 1，2， )．

4. 某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求： （I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率； （II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率； 解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为

6A101512P 6 ≥ .1512．

10106

3

C6 931458

6 0.01458． （II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为P 6

1010

5.

已知函数f(x) sin x xsin( x （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，

2

2

)( 0)的最小正周期为π.

2

]上的取值范围. 3

解：（Ⅰ

）f(x)

1 cos2 x 2 x

22

11π 1

2 x cos2 x sin 2 x ． 226 2

2π

π，解得 1． 2

因为函数f(x)的最小正周期为π，且 0，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x) sin 2x

π 1 ． 6 2

因为0≤x≤

2πππ7π1π ，所以 ≤2x ≤，所以 ≤sin 2x ≤1． 366626

因此0≤sin 2x

π 13 3

f(x)，即的取值范围为 ≤0 ． 6 22 2

6. 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位

至少有一名志愿者． （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．

3

A31

解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA) 24 ，

C5A440

即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是

1． 40

4A41

（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E) 24 ，

C5A410

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E) 1 P(E) 7. 已知函数f(x) 2sin( x)cosx.

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

9． 10

（Ⅱ）求f(x)在区间

, 上的最大值和最小值. 62

解析：（Ⅰ）∵f x 2sin x cosx 2sinxcosx sin2x，

∴函数f(x)的最小正周期为 .

（Ⅱ）由

6

x

2

3

2x

，∴ sin2x 1， ∴f(x)在区间

, 上的最大值为1

，最小值为 62

8. 已知|an|为等差数列，且a3 6，a6 0。 （Ⅰ）求|an|的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列|bn|满足b1 8，b2 a1 a2 a3，求|bn|的前n项和公式. 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差d。 因为a3 6,a6 0

a1 2d 6

所以 解得a1 10,d 2

a 5d 0 1

所以an 10 (n 1) 2 2n 12 （Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q 因为b2 a1 a2 a3 24,b 8

所以 8q 24 即q=3

b1(1 qn)所以{bn}的前n项和公式为Sn 4(1 3n).

1 q

9. 已知函数f(x) 4cosxsin(x （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

6

) 1.

（Ⅱ）求f(x)在区间

, 上的最大值和最小值。 64

解析：（Ⅰ）因为f(x) 4cosxsin(x

6

) 1 4cosx(

1

sinx cosx) 122

3sin2x 2cos2x 1 3sin2x cos2x 2sin(2x

为 （Ⅱ）因为

6

)所以f(x)的最小正周期

6

x

4

,所以

6

2x

6

2

.于是，当2x ,即x 时，3626

,即x 时,f(x)取得最小值—1．

666

(sinx cosx)sin2x

10. 已知函数f(x) 。

sinx

（1）求f(x)的定义域及最小正周期；

f(x)取得最大值2；当2x

（2）求f(x)的单调递增区间。

解（1）：sinx 0 x k (k Z)得：函数f(x)的定义域为{xx k ,k Z} f(x)

(sinx cosx)sin2x

(sinx cosx) 2cosx

sinx

sin2x (1 cos2x) 得：f(x)的最小正周期为T

x ) 1

42

； 2

（2）函数y sinx的单调递增区间为[2k

,2k ](k Z) 22

3

则2k 2x 2k k x k

24288

3

](k Z) 得：f(x)的单调递增区间为[k ,k ),(k ,k

88