第三节 分部积分法

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第三节 分部积分法

一、基本内容 二、例题分析 三、小结 思考题

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一、基本内容 xe x dx = ? 问题】 ⑴【问题】 ∫解决思路】 利用两个函数乘积的求导法则. ⑵【解决思路】 利用两个函数乘积的求导法则.具有连续导数, 设函数 u = u( x ) 和 v = v ( x ) 具有连续导数 ,

(uv ) = u′v + uv′,

′

′ uv ′ = (uv ) u′v ,即

∫ uv′dx = uv ∫ u′vdx,

∫ udv = uv ∫ vdu.分部积分公式

对应题型】 ⑶【对应题型】 uv′dx难, 而求 u′vdx易 . 求∫ ∫ 对如何选择u 即如何利用分部积分公式， 对如何选择 和v ?即如何利用分部积分公式，下 面通过例子给以说明。 面通过例子给以说明。机动 目录 上页 下页 返回 结束

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二、例题分析【例1】求积分 ∫ x cos xdx . 】1 2 【解】(Ⅰ) 令 u = cos x , xdx = dx = dv 2 x2 x 2 x2 x cos xdx = ∫ cos x d = cos x + ∫ sin x dx 2 2 2

∫

显然,u、v选择不当，积分更难进行. 选择不当，积分更难进行. 显然, 【解】(Ⅱ) 令 u = x ,

cos xdx = d sin x = dv

∫ x cos xdx = ∫ xdsin x = x sin x ∫ sin xdx= x sin x + cos x + C .

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【例2】求积分 ∫ x 2 e x dx . 】

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x x u = x 2 , e dx = de = dv , 【解】 x 2e x dx = ∫ x2dex = x 2e x 2 ∫ xe x dx ∫

x (再次使用分部积分法) u = x , e dx = dv 再次使用分部积分法)

= x 2e x 2( xe x e x ) + C .

x3 x x3 x 3 x 如若 ∫ x 2e x dx = ∫ e xd = e ∫ e dx 3 3 3

显然积分更难进行

形如 ∫ x µ e x dx , ∫ x µ sin xdx , ∫ x µ cos xdx , 选u = x µ 结论1 【结论1】

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【例3】求积分 ∫ x arctan xdx . 】 【解】 令 u = arctan x ,

x2 xdx = d = dv 2

x2 ∫ x arctan xdx = ∫ arctan xd 2

x2 x2 = arctan x ∫ d (arctan x ) 2 2 x2 x2 1 dx = arctan x ∫ 2 2 2 1+ x x2 1 1 )dx = arctan x ∫ (1 2 2 2 1+ x x2 1 = arctan x ( x arctan x ) + C . 2 2

特例

∫ arctanx d xu

v

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【例4】求积分 】

x4 = dv , u = ln x , x 3 dx = d 【解】 4x ∫ x ln xdx = ∫ ln xd 434

x 3 ln xdx . ∫

特例

∫ ln x d xu v

1 4 1 3 = x ln x ∫ x dx 4 4 1 4 1 4 = x ln x x + C . 4 16形如 ∫ x µ ln xdx , ∫ x µ arcsin xdx , ∫ x µ arctan xdx ,选 结论2 【结论2】 v ′ = x µ 或者说选 ln x , arcsin x , arctan x为u机动 目录 上页 下页 返回 结束

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【⑴ ⑵

】分积

积分积 u v.

【例5】求积分 】

∫ sin(ln x )dx .

【解】 ∫ sin(ln x)dx = x sin(ln x ) ∫ xd [sin(ln x )]1 = x sin(ln x ) ∫ x cos(ln x ) dx x = x sin(ln x ) x cos(ln x ) + ∫ xd [cos(ln x )]

所 求 再 现

= x[sin(ln x ) cos(ln x )] ∫ sin(ln x )dx x ∴ ∫ sin(ln x)dx = [sin(ln x ) cos(ln x )] + C . 2机

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e x sin xdx . 【例6】求积分 ∫ 】【解】

e x sin xdx = ∫ sin xde x ∫

= e x sin x ∫ e x d (sin x )= e x sin x ∫ e x cos xdx = e x sin x ∫ cos xde x

= e x sin x (e x cos x ∫ e x d cos x ) = e x (sin x cos x ) ∫ e x sin xdx注意循环形式

ex ∴ ∫ e x sin xdx = (sin x cos x ) + C . 2机动 目录 上页 下页 返回 结束

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教材【例8】 】

sec3 xdx = ∫ sec x sec 2 xdx ∫

= ∫ sec xdtan x= sec x tan x ∫ sec x tan2 x= secx tan x ∫ secx(sec2 x 1)dx= sec x tan x ∫ sec 3 xdx + ∫ sec xdx

= secx tan x + ln | secx + tan x | ∫ sec3 xdx1 故 ∫ sec xdx = (sec x tan x + ln | secx + tan x |) + C 23

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x arctan x dx . 【例7】求积分 ∫ 】 2 1+ x【解】 Q

(

1+ x

2

)

′

x , = 2 1+ x

x arctan x dx = ∫ arctan xd 1 + x2 ∴ ∫ 1 + x2

= 1 + x 2 arctan x ∫ 1 + x 2 d (arctan x ) = 1 + x arctan x ∫2

1 1+ x dx 2 1+ x2

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或直接套公式

= 1 + x arctan x ∫2

1 dx 2 1+ x

令 x = tan t

∫

1 1 dx = ∫ sec2 tdt = ∫ sec tdt 1 + x2 1 + tan 2 t

= ln(sec t + tan t ) + C = ln( x + 1 + x 2 ) + C

x arctan x dx ∴ ∫ 2 1+ x= 1 + x 2 arctan x ln( x + 1 + x 2 ) + C .

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x 【例8】 求 ∫ e dx 】

【解】 于是

令 x = t, x = t 2, 则

dx = 2tdt .

e x dx 换 元 2 ∫ te t dt 凑微分 2 ∫ tde t ∫分部积分 2te t 2 e t dt

∫

= 2te t 2e t + C回代 2 xex

2e

x

+C

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【例9】 已知 (x)的一个原函数是 e 】 已知f 的一个原函数是 【解】

x2

, 求 ∫ xf ′( x )dx

∫ xf ′( x )dx = ∫ xdf ( x ) = xf ( x ) ∫ f ( x )dx , ′ Q (∫ f ( x )dx ) = f ( x ), 且 ∫ f ( x )dx = e x两边同时对x求导, 得 两边同时对 求导, 求导f ( x ) = 2 xe x2

2

+ C,

,

∴ ∫ xf ′( x )dx = xf ( x ) ∫ f ( x )dx

= 2 x e

2 x2

e

x2

+ C.

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阅读与练习】 【阅读与练习】1.已知 f ( x) 具有二阶连续导数，求 ∫ e2 x f ′′(e x )dx 具有二阶连续导数，

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【解】 ∫ e 2 x f ′′(e x )dx = ∫ e x f ′′(e x )de x = ∫ e x df ′(e x )= e x f ′(e x ) ∫ f ′(e x )de x = e x f ′(e x ) ∫ df (e x )= e x f ′( e x ) f ( e x ) + C

f ( x) 可微， 可微， 且其反函数 f 1( x) 存在 2. 设 ∫ f ( x)dx = F( x) + C,f 1( x)dx = xf 1( x) F[ f 1( x)] + C 试证 ∫

证明】 【证明】 令 t = f 1 ( x ) , x = f ( t ) , dx = df ( t ) = f ′( t )dt

∫

f 1 ( x )dx = ∫ tdf (t ) = tf ( t ) ∫ f ( t )dt

对t 积分

= tf ( t ) F ( t ) + C 回代 xf 1 ( x ) F [ f 1 ( x )] + C

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二、

小结合理选择 u, v′ ,正确使用分部积分公式

∫ uv′dx = uv ∫ u′vdx

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【思考题】 思考题】在接连几次应用分部积分公式时， 在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？ 应注意什么？

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