高等数学上5.4反常积分

复习1. 定积分的换元法

∫a f ( x )dx = ∫αb

b

β

f [ ( t )] ′( t )dtb a b

“换元要换限” 换元要换限” 换元要换限

2. 定积分的分部积分公式

∫ udv = [uv ] ∫a

a

vdu.

3. 几个公式

(1)∫

a

a

2 a f ( x)dx, 当f ( x)为偶函数时 ∫0 f ( x)dx = 0, 当f ( x)为奇函数时 上页 返回 下页 结束

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(2) ∫

a+T

aπ2

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx.0π2

T

(3) ∫ f (sin x)dx =∫ f (cos x)dx;0 0

(4) ∫ xf (sin x)dx =0π2

π

π

2∫

π

0

f (sin x)dx,π2

(5) In = ∫ sin xdx = ∫ cos xdxn n 0 0

3 1 π n 1 n 3 L , n为正偶数 n n 2 4 2 2 = n 1 n 3 L4 2 , n 为大于1的正奇数 为大于1 n n 2 5 3首页 上页 返回 下页 结束

第四节

第五章 五

反常积分常义积分推广

积分限有限 被积函数有界

反常积分 (广义积分)

一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分首页 上页 返回 下页 结束

一、无穷限的反常积分引例. 曲线 引例. 和直线 及 x 轴所围成的开口曲

边梯形的面积 可记作 +∞ dx A= ∫ 1 x2 其含义可理解为 b b dx 1 A = lim ∫ 2 = lim 1 x b→+∞ x 1 b→+∞

y=

1 x2

A

1

b

1 1 = lim =1 b→+∞ b 首页 上页 返回 下页 结束

定义1. 设 f (x) ∈C[a, + ∞) , 取b > a, 若 定义b→ +∞

lim ∫ f ( x )d xa

b

无穷限反常积分 反常积分, 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分 记作

这时称反常积分 就称反常积分

收敛 ; 如果上述极限不存在 如果上述极限不存在, 发散 .

类似地 , 若 f (x) ∈C ( ∞, b], 则定义

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若 f (x) ∈C ( ∞, + ∞), 则定义

∫

+∞ ∞

f ( x )d x = lim ∫ f ( x)dx + lim ∫ f ( x)dxa→ ∞ a b→+∞ c

c

b

( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .

无穷限的反常积分也称为第一类反常积分 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 第一类反常积分 说明: 说明 上述定义中若出现 ∞ ∞ , 并不是待定型 , 它表明该反常积分发散 .

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引入记号

F(+∞) = lim F(x) ; F( ∞) = lim F(x)x→+∞x→ ∞

则有类似牛 莱公式的计算表达式 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :

∫a

+∞

f (x) dx = F(x)

= F(+∞) F(a) = F(b) F( ∞) = F(+∞) F( ∞)

∫ ∞ f (x) dx = F(x) ∫ ∞ f (x) dx = F(x)首页 上页

b

+∞

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P256-1

例1. 计算反常积分 解:

= [ arctan x ] ∞=

+∞

y

y=

π

( ) = π 2 2

π

1 1+x2

o

x

思考: 思考 分析: 分析 原积分发散 !

注意: 对反常积分, 注意 对反常积分 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零”

的性质否则会出现错误 . 偶倍奇零” 的性质, 偶倍奇零首页 上页 返回 下页 结束

P256-2

例2. 计算反常积分

t pt 解: 原式 = e p

1 +∞ pt + ∫ e dt p 0

t pt = e p

1 pt 2e p

1 1 pt = lim e 0 2 (0 1) p p t→+∞1 = 2 p首页 上页 返回 下页 结束

P257-3

证明p 例3. 证明 积分 证: 当 p =1 时有 当 p ≠ 1 时有

当 p >1 时收敛 ; p≤1 时发散 .

= [ ln x ]

+∞ a

= +∞+∞

x = 1 p a

1 p

+∞,a , p 11 p

p <1 p >1

a 1 p ; 因此, 因此 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 p 1 当 p≤1 时, 反常积分发散 .首页 上页 返回 下页 结束

二、无界函数的反常积分引例:曲线 引例 曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的

开口曲边梯形的面积可记作 开口曲边梯形的面积可记作

y1 y= x

其含义可理解为

dx A = lim∫ = lim 2 x 1 ε ε →0+ ε x ε →0+ = lim 2(1 ε ) = 21

A0ε

x

ε →0+首页

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定义2. 定义 设 f (x) ∈C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界 的右邻域内无界, 若极限 存在 , 则称此极限为函

上的反常积分 反常积分, 数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分 记作

这时称反常积分 就称反常积分

如果上述极限不存在, 收敛 ; 如果上述极限不存在 发散 .

的左邻域内无界, 类似地 , 若 f (x) ∈C[a, b) , 而在 b 的左邻域内无界 则定义首页 上页 返回 下页 结束

而在点 c 的 邻域内无界 , 则定义

= lim

ε1→0+

∫a f (x) dx + ∫c f (x) dx c ε b ∫a f (x) dx+ ε lim ∫c+ε →01 + 2

c

b

f (x) dx2

无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称 无界函数的积分又称作第二类反常积分 无界点常称 的积分又称作第二类反常积分 瑕点(奇点 奇点) 为瑕点 奇点 . 说明: 说明 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 间断点, 则本质上是常义积分, 而不是反常积分. 间断点 则本质上是常义积分 而不是反常积分 例如, 例如首页 上页 返回 下页 结束

则也有类似牛 – 莱公式的 的计算表达式 : 为瑕点, 若 b 为瑕点 则 为瑕点, 若 a 为瑕点 则

∫a

b

f (x) dx = F(b ) F(a)+

∫a f (x) dx = F(b) F(a

b

)

若 a , b 都为瑕点 则 都为瑕点,

∫a ∫ab

b

f (x) dx = F(b ) F(a+ )

注意: 注意 若瑕点 c∈(a, b) , 则

f (x) dx = F(b) F(c+ ) + F(c ) F(a)可相消吗? 可相消吗首页 上页 返回 下页 结束

P258-4

例4. 计算反常积分 解: 显然瑕点为 a , 所以 x a π arcsin = arcsin1= 原式 = 0 a 2P259-5

例5. 讨论反常积分

的收敛性 .0

0 dx 下述解法是否正确: 1 1 =∞ 下述解法是否正确1 dx = 1 = ∫ 2 +∫ 2 解: + x + 1 x 0 0 x 1 1 x 1 dx 1 Q∫ 2 =

= 1 1 = 2 , ∴积分收敛 1 x 所以反常积分 x 1 发散 .

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P259-6

例6. 证明反常积分 时发散 . 证: 当 q = 1 时, 当 q≠1 时

当 q < 1 时收敛 ; q≥1

= [ ln x a ]1 q

b a+

= +∞

(x a) = 1 q

(b a)1 q , q <1 b 1 q a+= +∞, q >1

(b a) 所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 1 q 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .首页 上页 返回 下页 结束

1 q

;