图像变换 傅立叶频谱图

关于傅立叶变换的频谱图解释的很详细

图像变换主要内容1、图像变换的目的 2、傅立叶变换(公式) 3、频率域图像 频率域图像 傅立叶谱) (傅立叶谱)重点

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图像变换变换(transform)一词并不陌生，从初等数学到 高等数学，已经学过不少的变换“技巧”,目的 是是问题的求解变得简单。 在图像处理中，所谓图像变换可以理解为 为达到 图像处理的某种目的而使用的数学方法，通过这 种数学变换，图像处理起来较变换前更加方便和 简单。由于这种变换方法是针对图像函数而言， 所以称之为图像变换 图像变换。图像变换可以在图像校正 图像变换 前进行，也可以在图像校正后进行。

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图像变换图像变换的目的：①简化图像处理；②便于 图像特征提取；③图像压缩；④从概念上增 强对图像信息的理解。 在遥感数字图像处理中， 在遥感数字图像处理中，图像变换是一 种常用的、有效的分析手段。 种常用的、有效的分析手段。 图像变换包括两个过程：正变换和逆变换 正变换和逆变换。通 正变换和逆变换 过正变换将图像变为新图像，然后进行处理。 通过逆变换将处理后的图像还原为原始形式的 图像，以便对原始图像进行对比。

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图像变换图像变换主要有： 傅立叶变换、主成份变换、缨帽变换、代数运算、彩色 傅立叶变换 变换

其中傅立叶( 其中傅立叶(Fourier)变换 )变换的应用非常是 广泛的，非常有名的变换之一。

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2、傅立叶变换傅立叶(Fourier),法国数学及物理学家，傅立叶级数( 傅立叶(Fourier),法国数学及物理学家，傅立叶级数(三角级 ),法国数学及物理学家 创始人。 数)创始人。 1801年任伊泽尔省地方长官，1817年当选科学院院士，1822年任 1801年任伊泽尔省地方长官，1817年当选科学院院士，1822年任 年任伊泽尔省地方长官 年当选科学院院士 该院终身秘书， 该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会 主席。 主席。 主要贡献：在研究热的传播时创立了一套数学理论，1807年向巴 主要贡献：在研究热的传播时创立了一套数学理论，1807年向巴 黎科学院呈交了《热的传播论文》 推导著名的热传导方程， 黎科学院呈交了《热的传播论文》,推导著名的热传导方程，并在求 解该方程时发现函数可由三角函数构成的级数形式表示， 解该方程时发现函数可由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任 意函数可以展成三角函数的无穷级数。 意函数可以展成三角函数的无穷级数。

数学与图像处理 空域与频域的桥梁

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傅立叶变换傅立叶变换是换域分析(空间域到频率域)是 一种广泛使用的工具，在图像处理中是一 种有效而重

要的方法。在图像处理中，傅 立叶变换的应用十分广泛，如：图像特征 提取、频率域滤波、周期性噪声的去除、 图像恢复、纹理分析等。把傅立叶变换的 理论与遥感图像的物理解释相结合，有利 于解决大多数遥感图像处理问题。 傅立叶变换分为连续傅立叶变换和离散傅 立叶变换，在数字图像处理中经常用到的 是二维离散傅立叶变换

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一维二维连续傅里叶变换1) 定义 )F (u ) =∞ ∞

//f(x,y)

变换到

F(u,v)//∞ ∞

∫

f ( x ) e j 2 πux dx

F (u , v ) =

∫

f ( x , y ) e j 2 π ( ux + vy ) dx dy

2) 逆傅立叶变换 )f ( x) =∞ ∞

∫ F (u ) e

j 2 π ux

du

f ( x, y ) =

∞

∞

∫ F (u , v ) e

j 2 π ( ux + vy )

du dv

3) 傅立叶变换特征参数 )

F (u , v) = R (u , v) + jI (u , v)频谱/模 频谱 模F (u, v) = R 2 (u, v) + I 2 (u, v)

能量谱/ 能量谱/功率谱 相位角

P (u, v) = F (u , v) = R 2 (u , v) + I 2 (u, v)2

φ (u , v) = arctan

I (u, v) R(u , v)

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二维离散傅里叶变换1) 定义 )1 F (u , v ) = MNM 1 N 1

∑∑

f ( x , y ) e j 2 π ( ux / M + vy / N )

x =0 y =0

u , v = 0,1, L N 1

2) 2) 逆傅立叶变换f ( x, y ) =M 1 N 1

∑∑

F (u , v ) e j 2 π ( ux / M + vy / N )

x =0 y =0

x, y = 0,1, L N 1

F(u,v)为f(x,y)的频谱

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3、频率域图像(频谱) 、频率域图像(频谱)或称为 傅立叶谱

《题西林壁》 题西林壁》只 缘 身 在 此 山 中 目 面 真 山 庐 识 不----苏轼

远 近 高 低 各 不 同 峰 成 侧 岭 成 看

横

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原 图 傅 立 叶 变 换 频 域 图

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原图

傅立叶变换后的频域图

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频率域图像空间频率的理解： 空间频率的理解：对图像信号而言， 对图像信号而言，空间频率是指单位长度内亮度 也就是是灰度)作周期性变化的次数。 (也就是是灰度)作周期性变化的次数。是图像中灰度 变化剧烈程度的指标， 变化剧烈程度的指标，也可以理解为灰度在平面空间上 的梯度。 的梯度。

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频率域图像频率域的理解：傅立叶变换以前，图像是由对在连续空间(现实空间) 傅立叶变换以前，图像是由对在连续空间(现实空间) 上的采样得到一系列点的集合， 上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维 矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。实 矩阵表示空间上各点，则图像可由 来表示。 来表示 际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图， 际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图 像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与原·图像上各 像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与原 图像上各 点并不存在一一对应的关系， 点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下 也是没有

。 也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮 实际上图像上某一点(像素灰度值) 点，实际上图像上某一点(像素灰度值)与它的邻域 点差异的强弱，即梯度的大小， 点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大 可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点， 小(可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点， 高频部分梯度大的点) 高频部分梯度大的点)

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频率域图像在空间域图像中，线性的地物为高频成分，大 块面状的地物为低频成分。图像经过傅立叶变换 后产生频率域图像，这些空间频率信息被突出出 来 图像灰度变化缓慢的部分,对应变换后的低频分 量部分,图像的细节和轮廓边缘都是灰度突变区 域,它们是变换后的高频分量. 频域图像的每一点都来自于整个原图像