2.3应力莫尔圆、应力平衡微分方程

第二章

金属塑性变形的力学基础

应力分析

河南科技大学材料学院

平面应力状态下的应力莫尔圆

若已知平面应力状态的三个应力分量 z xz yz 0，如何 求任意斜微分面AC上的正应力σ和切应力τ？

AC面的方向余弦 对于AC面

l cos

m cos sin 2

n cos

2

0

S x x l xy m x cos xy sin S y xy l y m xy cos y sin

S x m S y l ( xl yx m)m ( xyl y m)l

( x y ) sin cos xy (sin 2 cos 2 ) sin 2 xy cos 2 2 S xl S y m x cos2 y sin 2 2 xy sin cos

x y

x

2

(1 cos 2 ) 2 2 2 x y

2

y

2

(1 cos 2 ) xy sin 2

x y

x y

cos 2 xy sin 2

x y 2 2 xy

2

2

平面应力状态下的应力莫尔圆

主应力

1 x y x y 2 xy 2 2 2 3 0

2

主应力σ1与x轴之间的夹角

arctan

1 2 2 xy

x y

从某一平面顺（逆）转 的任意斜面上应力在 莫尔圆上对应的是从相应的坐标点顺（逆）时旋 转2 处的点的坐标。

三向应力莫尔圆

对于三向应力状态，设变形体中某点的 且 1 〉 3 ， 2 ， 2 〉 三个主应力为 1 ， 三向应力莫尔圆为：

3

圆心的坐标和半径分别为：

三个圆的半径分别等于三个主切应力

三向应力莫尔圆

三个圆的方程为

每一个圆分别表示某方向余弦为零的斜面上的正 应力和切应力的变化规律。

应力平衡微分方程

应力分量是坐标的 连续函数。 Q点: 坐标x，y，z， 应 力状态σij 。过Q点x面上的 正应力 x f ( x, y, z ) Q′点: 坐标x+dx,y+dy, z+dz,应力状态σij+dσij。过 y Q′点x面上的正应力

x d x f ( x dx, y, z )

f 1 f 2 f ( x, y, z ) dx dx 2 x 2 x x x dx x

2

z

zx dz z

zx

z dz z zy zy dz z

yx

xz

xy

x

Q′

yz

yz y

dy y y

xz xz dx x

xy

xy x dx

y

yx

yx y dy

dy

yz

dz

Q

x

zy

x dx x

zx

dx

z y x

dy 泰勒级数 f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )

z

1 f ' ' ( x0 )( x x0 ) 2 2!

应力平衡微分方程

由于单元体处于平衡状态

Fx 0

yx x ( x dx)dydz x dydz ( yx