2015-2016高中数学 2.2.1圆的方程学案 苏教版必修2

2．2 圆与方程 2．2.1 圆的方程

1．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

2．A、B两镇相距10 km，现要修建一游乐场，使其到两地距离的平方和为60，那么游乐场应修在何处？

仅仅根据问题中的几个数据无法表示距离，如果将这个问题放在直角坐标系中来考虑，就很容易表示出各个距离了．首先以AB两镇所在的直线为x轴，以AB中点为原点建立直角坐标系，则A(－5，0)、B(5，0)，设P(x，y)为游乐场的位置，则有(x＋5)2＋y2＋(x－5)2＋y2＝60，化简得x2＋y2＝5.你能说明一下游乐场应建在哪吗？

1．在平面直角坐标系中，当圆心与半径确定后，圆就唯一确定了．因此，确定圆的最基本要素是圆心和半径．

2．在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心为A(a，b)，半径长为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．若点M(x0，y0)在圆上，则点M的坐标就适合方程，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；反之，若点M(x0，y0)的坐标适合方程，这就说明点M与圆心的距离为r，即点M在圆心为A，半径为r的圆上．

3．圆心在坐标原点，半径长为r的圆的方程为x2＋y2＝r2．

4．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内，则满足条件x20＋y20＜r2；若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外，则满足条件x20＋y20＞r2；同理，若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内，则满足条件(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2；若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2

外，则满足条件(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．

5．△ABC外接圆的圆心是△ABC的外心，即△ABC三边垂直平分线的交点； △ABC内切圆的圆心是△ABC的内心，即△ABC三内角平分线的交点．

6．已知P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，以P1P2为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．

D ED2＋E2－4F.

7．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得 x＋ y＝

4 2 2

E1 D

①当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以 －为圆心，D2＋E2－4F为半径的圆；

2 2 2

22

②当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点 －，－ ；

2 2

③当D2＋E2－4F＜0时，方程没有实数解，它不表示任何图形．

8．圆的一般方程：当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．

9．求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择标准方程或一般方程；

②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解出a，b，r或D，E，F

，代入标准方程或一般方程．

DE

一、圆的标准方程

圆的标准方程是由圆心坐标和半径确定的，所以已知圆心坐标和半径就能直接写出圆的方程，反之已知圆的标准方程也可以直接得到圆心坐标和半径．

二、点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．判断方法是将所给的点M与圆心C的距离跟半径r的大小进行比较．

若CM＝r，则点M在圆上； 若CM＞r，则点M在圆外； 若CM＜r，则点M在圆内． 三、求圆的方程的方法 求圆的方程有两种基本方法：

(1)直接法．即求出圆心坐标和半径，直接得到圆的标准方程；

(2)待定系数法．先设出圆的方程，再根据题目条件解出系数得到圆的方程．基本思路为：

①选用圆的方程两种形式中的一种(如果已知圆上的三个点的坐标，一般选用一般方程；如果给出圆心的特殊位置或圆心两坐标间的关系，一般选用标准方程)；

②根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；

③解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．

四、求轨迹方程的基本步骤

①建立适当直角坐标系(题目中已经涉及坐标系的不用建)； ②设所求轨迹上点的坐标为M(x，y)； ③根据题意，列出方程f(x，y)＝0； ④化简方程；

⑤检验是否方程所有的解都满足题意，若有不满足的要删去多余的解，若有遗漏则应补上失去的解．

五、转换法求轨迹方程

①转换法一般是求与已知曲线相关曲线的方程，如求圆上一点与某一定点的中点的轨迹方程．

②转换法是利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的相关动点的关系，把所求动点转换为已知动点．

基础巩固

知识点一 点与圆位置关系的判定

1．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围为________． 解析：由(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴2＋2a2<4. ∴a2<1. 答案：(－1，1)

2t1－t2 与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．

2．点P

1＋t21＋t2

2t＋ 1－t2＝4t2＋（1－t2）2＝（1＋t2）2＝1，∴

解析：将点P坐标代入得 （1＋t2）2（1＋t2）2 1＋t2 1＋t2

点P在圆上．

答案：在圆上

3．(2014·北京卷)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)、B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )

A．7 B．6 C．5 D．4

解析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，把问题转化为求圆上动点到坐标原点距离的最大值，数形结合求解．

2

2

根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝1

2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝AB|＝m，要求m的最大值，即求圆C上的点P

2到原点O的最大距离，因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.

答案：B

知识点二 圆的标准方程

4．圆心在y轴上，半径为5，且经过点(3，－4)的圆的方程为________． 答案：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25

5．圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线y＝x－1对称的圆是________． 解析：求出圆心(－1，4)关于直线y＝x－1的对称点为(5，－2)，半径不变． 答案：(x－5)2＋(y＋2)2＝1

6．过点A(3，1)，B(－1，3)且圆心在直线3x－y－2＝0上的圆的方程是________．

解析：方法一 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，依题意（3－a）2＋（1－b）2＝r2，

（－1－a）2＋（3－b）2＝r2， 3a－b－2＝0，

＝2，

a

解得 b＝4，

r＝10.

所以所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10. 方法二 线段AB

2x－y＝0，

的中垂线方程为2x－y＝0.由 得圆心的坐标为(2，

3x－y－2＝0，

4)．∴r＝10，故所求圆方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.

答案：(x－2)2＋(y－4)2＝10

知识点三 圆的一般方程

7．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是________．

解析：圆过原点，∴F＝0.又圆心在直线y＝x上， ∴D＝E≠0.

答案：D＝E≠0，F＝0

8．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________．

D＝－4，

解析：由题意得 ∴

E＝8.E

－24.

－2，

2

D

D2E2

∴＋F＝20－F＝16. 44

∴F＝4. 答案：4

9．△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，5)、B(－2，－2)、C(5，5)，求其外接圆的方程．

解析：设所求圆的方程 …… 此处隐藏：2753字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……