春七年级数学下册 第9章 整式乘法与因式分解 05 因式分解中的数

春七年级数学下册 第9章 整式乘法与因式分解 05 因式分解中的数学思想知识拓展 (新版)苏科版

因式分解中的数学思想

一、整体思想

所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解．

例1 把多项式（x2－1）2＋6（1－x2）＋9分解因式．

分析：把（x2－1）看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的．

解：（x2－1）2＋6（1－x2）＋9

＝（x2－1）2－6（x2－1）＋9

＝[（x2－1）－3]2

＝（x2－4）2

＝[（x＋2）（x－2）]2

＝（x＋2）2（x－2）2．

例2 把多项式（a＋b）2－4（a＋b－1）分解因式．

分析原式两项既无公因式可提，又无公式可套用，但由此结构特点可采取视a＋b为一个整体，局部展开后或许能运用完全平方公式．

解：（a＋b）2－4（a＋b－1）＝（a＋b）2－4（a＋b）＋4＝（a＋b－2）2．

二、类比思想

类比思想在因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比．

例3 把多项式6x3y 2＋12x2y3－6x2y2分解因式．

分析：对比整式的乘法和乘法的分配律可知，6、12、6的最大公约数是6，字母x、y 的最低指数均为2，所以多项式6x3y2＋12x2y3－6x2y2的公因式是6x2y2．

解6x3y2＋12x2y3－6x2y2＝6x2y2（x＋y－1）．

例4 分解因式：（1）x3y－xy3；（2）abx2－2abxy＋aby 2．

分析：（1）对比平方差公式可先提取xy．（2）对比完全平方公式可先提取ab．

解：（1）x 3y－xy3＝xy（x 2－y 2）＝x y（x＋y）（x－y）；

（2）abx 2－2abxy＋aby2＝ab（x2－2xy＋y2）＝a b（x－y）2.

三、转化思想

春七年级数学下册 第9章 整式乘法与因式分解 05 因式分解中的数学思想知识拓展 (新版)苏科版

转化思想就是对于某些多项式从表面是无法利用因式分解的一般步骤进行的，必须通过适当的转化，如经过添项、拆项等变形，才能利用因式分解的有关方法进行．例5 把多项式6x（x－y）2＋3（y－x）3分解因式．

分析考虑到（y－x）3＝－（x－y）3，则多项式转化为6x（x－y）2＋3（y－x）3，因此公因式是3（x－y）2．

解：6x（x－y）2＋3（y－x）3

＝6 x（x－y）2－3（x－y）3

＝3（x－y）2[2 x－（x－y）]

＝3（x－y）2（x＋y）．

例6 把多项式x4＋x2y2＋y4分解因式．

分析：从表面上看此题不能直接分解因式，但仔细观察发现若x2y2转化成2x2y2，即可先运用完全平方公式，再利用平方差公式．

解：x4＋x2y2＋y4

＝x4＋2x2y2＋y4－x2y2

＝（x2＋y2）2－x2y2

＝（x2＋y2＋xy）（ x2＋y2－xy）

＝（x2＋xy＋y2）（ x2－xy＋y2）．

四、换元思想

所谓的换元就是将多项式的某些项用另一个新的字母去代换，通过换元可以将复杂的多项式转变成简单的，将陌生的转换成熟悉的，使之得以顺利地分解因式．例7 把多项式（x＋y）（x＋y＋2xy）＋（xy＋1）（xy－1）分解因式．

分析：这个多项式形式上比较复杂，但考虑x＋y与xy重复出现，利用这一特点，可以这两个因式通过换元后再分解因式．

解：设x＋y＝a，xy＝b，则（x＋y）（x＋y＋2xy）＋（xy＋1）（xy－1）

＝a（a＋2b）＋（b＋1）（b－1）

＝（a2＋2ab＋b2）－1

＝（a＋b）2－1

＝（a＋b＋1）（a＋b－1）

＝（x＋y＋xy＋1）（x＋y＋xy－1）

＝（x＋1）（ y＋1）（x＋y＋xy－1）．