泊松分布与负二项分布在模拟索赔次数中的应用

模拟索赔次数

(自然科学版)第27卷第2期Vol 27No 2

2011年4月JournalofHebeiNorthUniversity(NaturalScienceEdition)Apr.2011

泊松分布与负二项分布在模拟索赔次数中的应用

王丙参,魏艳华,石春燕

(天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水741001)

摘要:为了在模拟索赔次数时更好的运用泊松分布与负二项分布,研究了二者的优良特性及相互关系,最后结合Sas软件进行实例分析,得到了负二项分布是伽玛分布对泊松分布的混合分布且是赔频率强度存在正传染性的索赔分布,由于方差大于均值,因而更好的描述非同质风险.

关键词:泊松分布;负二项分布;索赔次数;估计值中图分类号:O211 3 文献标识码:A

文章编号:1673-1492(2011)02-0013-04

ApplicationsofPoissonDistributionandNegativeBinomialDistribution

inStochasticSimulationofNumberofClaims

WANGBing-can,WEIYan-hua,SHIChun-yan

(SchoolofMathematicsandStatistics,TianshuiNormalUniversity,Tianshui741001,Gansu,China)

Abstract:Thispaperdiscussesthepropertiesandrelationshipbetweenthenegativebinomialdistribu-tionandPoissondistributioninordertousetheminthestochasticsimulationofnumberofclaims.Fina-lly,itanalyzesanexamplebyusingSassoftware.NegativebinomialdistributionisagammamixtureofPoissondistribution.Whenclaimfrequencyintensitieshaspositivecontagion,theclaimnumberdistribu-tionisnegativebinomialdistribution.Sincethevarianceisbiggerthanthemean,itisabetterdescriptionofthenon-homogeneousrisk.

Keywords:Poissondistribution;negativebinomialdistribution;numberofclaims;estimate在实际中,不会有大量数据可以确定理赔次数的分布,因此必须为理赔次数选择一个合适的模型来拟和.泊松分布与负二项分布都能比较满意地用来拟和风险集体的理赔次数,还具有其它分布不能企及的优良特性[1-4].鉴于此,本文研究了泊松分布与负二项分布的优良特性及相互关系,以便在模拟索赔次数时更好的运用它们,并结合Sas软件进行实例分析.

1 基本模型

k

泊松分布X以全体自然数为一切可能值,其分布律为P(X=k)=e,k=0,1,2, ,记为P

k!

-

( ).显然有:E(X)= ,Var(X)= .

为了描述稀有事件,只含有一个参数的泊松分布往往是第一选择,当风险集体同质时,理赔次数服从Poisson分布,均值等于方差[5].

负二项分布有两个基本模型:

(1)若在伯努利试验序列中,每次试验成功的概率为p,则恰好出现n次成功所需试验次数X服从参数为(n,p)的第一类负二项分布,记为NB1(n,p),P(X=k)=Ck-1Pn(1-p)k-n,k=n,n+1 ,0<p<1.

来稿日期:2011-03-17

基金项目:甘肃省自然科学研究基金计划(096RJZE106);天水师范学院科研基金(TSA0931) 作者简介:王丙参(1983-),男,河南南阳人,天水师范学院数学与统计学院讲师,硕士.

n-1

模拟索赔次数

2011年4月

t

河北北方学院学报(自然科学版) 第2期

n显然mgfmx(t)=(),EX=,Var(X)=.NB1(n,p)常用于不幸事件和发病情况p1-qep的统计.

(2)若在伯努利试验序列中,每次试验成功的概率为p,则恰好出现n次成功所需失败次数X服从参数为(n,p)的第二类负二项分布,记为NB2(n,p),P(X=k)=Cn+k-1p(1-p),k=0,1, ,0<p<1.

)n,EX=,Var(X)=,即当数据的样本方差大于均值时用负二项分p1-qep

nrn

布拟合更合适.在非寿险中常将第二类负二项分布推广为NB2(r, ),P(X=n)=Cn+r-1()(),

1+ 1+

n=0,1, ,r>0, =>0,注意r未必是整数,简记为NB(r, ).今后为叙述方便,在非寿险中如

p

显然mgfmx(t)=(

k

n

k

无特别说明,负二项分布一律指推广的NB2(r, ).

索赔频率强度之间存在正向传染是指未来索赔频率强度线性依赖于过去的索赔次数,即 n=a+b(n-1),b>0,其中 n表示第n次索赔发生的频率强度,n-1为已经发生的索赔次数.已证明:当已经发

n+1n+kh

n+k+1生n次索赔时,经过时间h发生k次索赔的概率pn,n+k(h)=e- (ebh-1)k.如果令

b (2b) (kb)

n+1n+1( n+1+b) ( n+k+(k-1)b)-hb- h k

n=n,n+k(h)=en+k+1p(h)=e, ,则有p(1-p(h))=bbn+1n+1n+k

(+1) (+k-1)kn

e- n+1h(1-p(h))k=C n+k-1(p(h)) (1-p(h))k

k!

可见,在长度为h的时间区间内发生k次索赔的概率服从参数为( n,p(h))的第二类型负二项分布.几乎所有的汽车保险人都采用了无赔款优待系统(BMS),根据投保人以往年份的索赔情况调整其续期保费.通常的原则是,上一保险年度发生的索赔次数越多,次年的续期保费将越高,反之则否.保险公司调整投保人续期保费的主要目的之一就是为了公平投保人的保费负担,使高风险的投保人缴纳相对较高的保险费,并且有人设计出了最优BMS,可以根据投保人的索赔经验对投保人的续期保费进行调整,但该模型假定单个投保人的索赔次数服从泊松分布,这意味着投保人以前是否发生过保险事故对今后是没有影响的,但实际上投保人的索赔经历往往具有传染性.由于负二项分布是一种正向传染模型,在这种情况下单个投保人的索赔次数可能更加接近于服从负二项分布,因此风险理论中在拟合索赔次数时常用第二种类型的负二项分布.容易看出,负二项分布有一个很简单的性质,方差大于均值.负二项分布的方差越大于其均值,表明投保集体存在的非同质性越严重

[5]

[6]

.

2 第二类负二项分布与泊松分布的关系及性质

0,但n, 保持不变,令 =n ,将 =代pn-n入负二项分布的pgf并运用罗比特法则可得:nlim[1-]=exp{lim-nln[1-]}=exp n nn

{lim}=exp{nlim (z-1)}=exp{ (z-1)}n n- (z-1)

假设风险集体中索赔次数N~P( ),参数 未知,假设 是变量 的输出值,在有些情况下,使用

泊松分布是负二项分布的极限分布.令n , =

一个能够较好拟和观测到的理赔数据的参数分布就会很方便.假定 ~ ( , ),则理赔次数N的mgf

tNt mn(t)=E[E[e| ]]=m (e-1)=()=(.可见N~NB2( ,tt),其中p= -(e-1)1-(1-p)e +1

p),均值和方差分别为,(1+),其中 , 的值可通过风险集体的索赔次数统计资料得到估计,即

与伽玛分布混合的混合泊松分布和负二项分布相同.对于一个初始投保人,其索赔频率可初步估计为,

[6]

模拟索赔次数

2011年4月王丙参等:泊松分布与负二项分布在模拟索赔次数中的应用第2期

但一旦获得该投保人年索赔次数的观察值(k1, ,kn)时,应对这一估计进行后验估计.

k1- kn- -1-

k+ k+ -1-(n+ )

1n1nf( |k1, ,kn)==k1- =k- -

nd p(k1, ,kn| )f( )d 00k1!kn! ( )

则f( |K1, ,kn)服从 (k+ ,n+ ),均值和方差分别为,.因此索赔频率调整为

n+ (n+ )

.当n 时,索赔频率趋于真实频率.n+ n+ n

对于pk=P(X=k),k 0,称满足pk=(a+k)pk-1,k 1的分布为(a,b,0)分布,除退化分布外,(a,b,0)类包含且仅包含B(n,p),NB(r,p),P( ).令q=1-p,则有:

(1)若X~B(n,p),a=-n< …… 此处隐藏：4677字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……