大学物理 第四讲 动能定理 功能原理

4. 动能定理 功能原理 4.1 动能定理 4.2 保守力和非保守力 势能 4.3 功能原理和机械能守恒 4.4 三种宇宙速度 4.5 能量守恒定律 4.6 质心 质心运动定理

研究力在空间的积累效应。

注意: 1. 提高对 “功、动能、动能定理、势能 、 功能原理、机械能守恒定律”的理解。 2. 搞清规律的内容、来源、 对象、成立条件。3. 搞清它们与参考系的关系。 例如： 功的计算是否依赖参考系？ 如何理解重力势能属于“物体与地球”系统？ 某一惯性系中机械能守恒，是否在 其它惯性系也守恒？

4.1 动能定理4.1.1 功和功率功: 力和它所作用的质元(质点)的位移的点积。 对微小过程，可当成恒力、直线运动

Aab d A a

b

b

a

F dr

a

r

F

b× b F

(L)

dr 称为“力沿路径 L 的线积分” L m(1)功是过程量； (2)功是标量(有正负);

× a

Aab d A a

b

b

a

F drzb

直角坐标系： A 合力的功：

xb

xa

Fx dx Fy dy Fz dzya

yb

A

b

a

( Fi ) dr i i

(瞬时)功率: 若在 t t + dt 内，力 F 的元功为 dA, 则 t 时刻的功率 d A F d r P F v dt dt由动力机械驱动时，马达的输出功率是一定的，速度 小、力大，速度大、力小。 ---------“牛马关系”

za

b

a

Fi dr Aii

例1. 重力的功 地面附近质量为 m 的物体从 a 到 b,求重力的功。

y

dr

b

b Ap mg d r ( mgj ).(d xi d yj ) mg d y mg ( ya yb )ya

b

a o

mgx

a yb

a

例2. 一人从10m深的井中提水，起始 时桶和水共重10kg,由于水桶漏水， 每升高1m要漏去0.2kg的水。求将水 桶匀速地从井中提到井口，人所作的 功。蚂蚁在作功

附1. 一质量为2kg的物体，在变力 F 6ti的作用下作直线运动，如果物体从静止开始运动， 求前两秒此力所作的功。

4.1.2 动能定理一. 质点的动能定理 设合力为 F ,由牛II, 2 2 A12 F d r Ft d r1 12

2m

2 dv 1 m at d r m vdt 1 1 dt v2 1 1 2 2 m vd v mv 2 mv1 E K 2 E K 1 2 2 v1

“合力对质点作的功等于质点动能的增量”

说明:

1.一个过程量=始末两个状态量之差。 2.动能定理只适用于惯性系。

二 . 质点系的动能定理：对第 i个质点：合外力的功 ── 合内力的功 ──

A外i A内i

A外i A内 i EK2i EK1i对质点系：简记为

Ai

外i

A内i EK 2i EK1ii i i

A外 + A内 = Ek2 - Ek1

所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功 之和等于质点系总

动能的增量。 ---质点系的动能定理

注意：1. 内力是成对出现的，但内力功之和不一定为零。 2. 内力不能改变系统的总动量，但能改变系统的总 动能。 B

三、一对力的功

z

1

B2

设一对力分别作用在两 个物体上

d r1

f1 f 2 , r21 r2 r1一对力的元功

r1

m1A1

f1

r21

f2

d r2m2A2

r2

d A对 f1 d r1 f2 d r2 f2 (d r2 d r1 ) f 2 d(r2 r1 ) f 2 d r21初位形(A): m1----A1,m2----A2 末位形(B): m1----B1,m2----B2

x

0

y

(B)

说明:

AAB 对

f 2 d r21

(B)

(或

f1 d r12 )

(A)

(A)

1.一对力的功等于其中一个质点受的力沿着它相对 于另一质点移动的路径所作的功。 2.由于一对力的功只与“相对路径”有关，所以与 参考系的选取无关。一对力的功,可认为一个质点静止,例如，重力做功

3.

AAB对

B

A

f 2 d r21 , d r21 0 (相对位置不变), 或 d r21 f 2 时，A对 0

例、一对静摩擦力的功是多大？

一对静摩擦力的功恒为零！无论大物体怎么运动，这一对力 的功总是零，没有相对运动。

v

例、小物体下滑大物体后退，一对正压力的 功是多大？ N 不垂直于 v1 , AN 0 1 N v2 2 N 不垂直于 v2,AN 0 v12 N

v1

一对正压力的功恒为零！

一对滑动摩擦力之功恒小于零！

ff

vv

讨论 一个物体在地面上滑行， 受摩擦 f 作用，经过距离 s 停了下来。

在地面系看：摩擦力 f 作负功，A = -f s 物体动能减少，动能转化为热能，温度升高。 在物体参考系看：摩擦力 f 不作功，A=0.(矛盾？) f 到底作不作功？ 若 f 不作功，热能从何而来?

这个问题从一对摩擦力之功来分析就无矛盾: v

f f

A

地面系： A对 f s fs fs f s

s s

B

物体系： A '对 f s f s

A对 A '对

两者相等,而且都是负值。(动能转化为热能！)

例3. 在光滑水平面上停放一个砂箱，长度为 l, 质量为M。一质量为 m的子弹以水平初速 v0 穿透砂箱，射出时速度减为 v,方向仍为水平。 试求砂箱对子弹的平均阻力。

M l v0 m(直接用冲量定理？) 【解】 由题给的条件，根据动量的规律， 可先求出子弹射出时砂箱的速度。 再根据能量的规律，由计算一对力的功 的办法，求出子弹受的平均阻力。

v x

系统：砂箱和子弹 水平外力为零， 水平动量守恒， 设子弹射出时砂箱的速度为V,如图， 设V

M l v0 m则有

v x

MV mv mv0

m V ( v 0 v ) (>

0) M

由动能定理： A外 + A内 = Ek2 - Ek1 现在外力的功为零； 内力的功 就是一对阻力的功， 我们以砂箱为参照系来计算这一对阻力的功：

设子弹受的平均阻力为 f r (即看作常数) ,而子弹相对砂箱的位移即为l ,

1 1 1 2 2 2 所以， f r l MV mv mv0 2 2 2

1 1 1 2 2 2 f r l MV mv mv0 2 2 2将V代入， 可得

m V (v 0 v ) M

1 1 1 m2 2 2 2 v0 v f r m v0 v l 2 2 M

讨论：1. 量纲对 2. 特例对(当 M 0时)