模糊集理论及其应用 第五章

模糊集理论及其应用陈水利

第五章 模糊线性变换与模糊综合评判

第五章 模糊线性变换与模糊综合评判5.1 模糊线性变换( P3)5.2 一级模糊综合评判( P4~23) 5.3 多级模糊综合评判( P24~51)

5.4 因素重要程度模糊集的确定方法( P52~90)5.5 模糊综合评判的C语言程序2

§5.1 模糊线性变换5.1.1 基本概念 定义5.1.1 设U ,V为两个论域, {Ai|i I} F (U), 这里I为任意指标集,

若

T: F (U)→F (V)满足T(∪i I i Ai)= ∪i I i T(Ai)

则称T为模糊线性变换, 其中 i I, i [0,1].

例如: 设A F (U), R F (U×V), 则如下定义的模糊映射TR: F (U)→ F (V) A TR (A)=A R 是一个模糊线性变换,这是因为模糊关系的合成运算满足保并性, 我们称TR 为由R导出的,从U到V的模糊线性变换, 其中TR (A)的隶属函数为

TR (A)(v)= ∨u U (A(u) ∧R(u,v)),

v V3

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例如: U={u1, u2, u3, u4}, V= ={v1, v2, v3}, 则对U上的模糊集合

A=(0.6, 0.3, 0.9, 0.5)以及U到V的关系

0.5 0.7 R 0.4 1 有 0.5 0.7 TR ( A) (0.6, 0.3, 0.9, 0.5) 0.4 1 (0.5, 0.5, 0.7)

0.2 0.8 0.8 0.3 0.5 0.7 0.6 0 0.2 0.8 0.8 0.3 0.5 0.7 0.6 0

由上述例题可见，给定R F(U×V), 可以唯一确定

一个从U到V的模糊线性变换TR 。反之，给定一个从

U到V的模糊线性变换T,也存在唯一的R F (U×V), 使得TR =T。因此模糊关系与模糊线性变换是一一对应的。有时可以把R称为模糊线性变换。 模糊线性变换TR有直观的几何解释，如图5.1.1,设

R P(U×V), 将TR限制在P(U)上，则TR为从P(U)到P(V) 的普通集合的线性变换，可以证明 A P(U)有TR (A)= ((A×V)∩R)V

事实上， v V ,有 ((A×V)∩R)V(v) = ∨u U (A × V )∩R)(u,v), = ∨u U (A(u) ∧ V(v) ∧ R(u,v)), = ∨u U (A(u) ∧ R(u,v)), (因为V(v) =1) = TR (A)(v) 这说明: TR (A)就是普通关系(A×V)∩R在V中的 投影.6

定理5.1.1 设R F (U×V), TR为R导出的模糊 线性变换，则 A F (U),有 (1) TR (A)= ((A×V)∩R)V (2) TR (A)= ∪ [0,1] TR (A )

证明 (1)的证明与式(5.1.3)方式完全一致.

(2) 根据分解定理1和2,有TR (A)= ∪ [0,1] TR(A)

TR (A)= ∪ [0,1] TR(A)s 只要能证明 [0,1] ,有

TR(A)s TR (A ) TR(A) 则由分解定理3,可得到结论.

一方面，由TR (A)= ((A×V)∩R)V , v TR (A ),存在u U,使(u,v) (A ×V)∩R 从而有9

u A , 且(u , v ) R A(u ) R (u , v ) TR ( A)(v ) u U ( A(u ) R (u , v)) v TR ( A) 另一方面， v TR ( A) s TR ( A)(v ) u U ( A(u ) R (u , v )) u ' U , 使A(u ') R (u ', v ) (u ', v ) ( A

s V ) Rs (u ', v ) ( A V ) R v TR ( A )10

§5.2 一级模糊综合评判 5.2.1 基本思想与评价步骤 1. 基本思想: 利用模糊线性变换原理和最大隶属度原则, 考虑与被 评价事物相关的各个因素, 对其作出合理的综合评价. 2. 评价步骤: 设与被评价事物相关的因素集为 U={u1,u2,…,um} 而评语集为 V={v1,v2,…,vn}

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(1) 单因素评价 f : U→F (V) ui├→ f (ui)=ri=(ri1, ri2,…, rin),(i=1,2,…,m) 其中rij为关于因素ui具有评语vj的程度. (2) 构造模糊综合评判矩阵

r1 r11 r2 r21 R r r m m1

r12 r22 rm 2

r1n r2 n rmn 12

(3) 确定因素重要程度模糊集 A=(a1, a2,…, an) 其中ai为因素ui (i=1,2,…,m)在总评价中的重要程度. (4) 确定评价模型, 求出模糊综合评价集 B=A R=(b1, b2,…, bn) 其中 表示广义模糊合成运算,记作 M , ,即

r1 j a2 r2 j ... am rmj ,( j 1, 2,..., n) b j a1 ”表示广义模糊“与”运算， 这里“ ”表示模糊“或”运算

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(5) 综合评判 根据最大隶属度原则, 选择模糊综合评价集 B= (b1, b2,…, bn) 中最大的bj所对应的等级(评语) vj作为综合评判的 结果. , 不是唯一的,下面介绍几个 显然,模型 M 常用的模型.

5.2.2 几种常见的评判模型

1. 主因素突出型 (1) M ( , ) : b j ai rij , j 1, 2,..., n.m i 1 m i 1

(2) M ( , ) : b j ai rij , j 1, 2,..., n. 2. 加权平均型M ( , ): bj

ai 1 m

m

i

rij , j 1, 2,..., n.

3. 全面制约型M (乘幂, ): b j rij , j 1, 2,..., n.ai i 115

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4. 取小上界和型M ( , ): b j ai rij min{1, ai rij },i 1 i 1 m m

j 1, 2,..., n. 5. 均衡平均型M ( , ): rij b j ai , j 1, 2,..., n, r0 i 1 m

r0 rkj .k 116

m