2019版高考数学大一轮复习第十二章不等式选讲课时达标60不等式的

课时达标 第60讲 不等式的证明

[解密考纲]不等式的证明以解答题进行考查，主要考查综合法、比较法，还常用基本不等式证明不等式或求最值．

1．已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2

.

证明 (a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2.

因为a ，b 都是正数，所以a ＋b >0.

又因为a ≠b ，所以(a －b )2>0.于是(a ＋b )(a －b )2>0，

即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.

2．已知a ，b ，c 都是正数，求证：a2b2＋b2c2＋c2a2a ＋b ＋c

≥abc . 证明 因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2>0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc ，①

同理，b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c ，② c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2，③

①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2，

从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )．

由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c >0，

因此a2b2＋b2c2＋c2a2a ＋b ＋c

≥abc . 3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：2? ????a ＋b 2－ab ≤3? ????a ＋b ＋c 3－3abc . 证明 欲证2? ????a ＋b 2－ab ≤3? ??

??a ＋b ＋c 3－3abc ， 只需证a ＋b －2ab ≤a ＋b ＋c －33abc ，

即证c ＋2ab ≥33abc ，∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，

∴c ＋2ab ＝c ＋ab ＋ab ≥33c·ab ·ab ＝33abc ，

∴c ＋2ab ≥33abc 成立，故原不等式成立． 4．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b

＝2 2. (1)求a 2＋b 2的最小值；

(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值．

解析 (1)由22＝1a ＋1b ≥21ab ，得ab ≥12，当a ＝b ＝22时取等号．故a 2＋b 2≥2ab ≥1，

当a ＝b ＝22

时取等号． 所以a 2＋b 2的最小值是1.

(2)由(a －b )2≥4(ab )3，得? ????1a －1b 2≥4ab ，即? ??

??1a ＋1b 2－ 4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab

≤2. 又a ，b 为正实数，所以ab ＋1ab ≥2，所以ab ＋1ab

＝2， 所以ab ＝1.

5．已知函数f (x )＝|x |－|2x －1|，记f (x )>－1的解集为M .

(1)求M ；

(2)已知a ∈M ，比较a 2－a ＋1与1a

的大小． 解析 (1)f (x )＝|x |－|2x －1|＝????? x －1，x≤0，3x －1，0<x<12，－x ＋1，x≥12

. 由f (x )>－1，

得????? x≤0，x －1>－1或????? 0<x<12，3x －1>－1或????? x≥12，－x ＋1>－1，

解得0<x <2，故M ＝{x |0<x <2}． (2)由(1)知0<a <2， 因为a 2－a ＋1－1a ＝a3－a2＋a －1a ＝－＋a ， 当0<a <1时，－＋a <0，所以a 2－a ＋1<1a ； 当a ＝1时，－＋a ＝0，所以a 2－a ＋1＝1a ； 当1<a <2时，－＋a >0，所以a 2－a ＋1>1a

. 综上所述，当0<a <1时，a 2－a ＋1<1a

； 当a ＝1时，a 2－a ＋1＝1a ；