2016_2017学年高中数学第一章统计案例1.2.2独立性检验2.3独立性

1

2.2 独立性检验 2．3 独立性检验的基本思想 2．4 独立性检验的应用

1．了解独立性检验的基本思想方法．(重点) 2．了解独立性检验的初步应用．(难点

)

[基础·初探]

教材整理1 独立性检验

阅读教材P 21～P 24第1行部分，完成下列问题．

设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A ：A 1，A 2＝A 1；变量B ：B 1，

B 2＝B 1，有下面2×2列联表：

1112

时的数据；c 表示变量A 取A 2，且变量B 取B 1

时的数据；d 表示变量A 取A 2，且变量B 取B 2时的数据．

某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

2 “否”)．

【解析】 因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即b

a ＋

b ＝1858，d

c ＋

d ＝2742，两者相差较大，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．

【答案】 是

教材整理2 独立性检验的基本思想

阅读教材P 24“练习”以下至P 25“练习”以上部分，完成下列问题．

在2×2列联表中，令χ2

＝n ad －bc 2

a ＋

b

c ＋

d a ＋c b ＋d ，当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断：

(1)当χ2

≤2.706时，没有充分的证据判定变量A ，B 有关联，可以认为变量A ，B 是没有关联的；

(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A ，B 有关联；

(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A ，B 有关联；

(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A ，B 有关联．

对分类变量X 与Y 的统计量χ2的值说法正确的是( )

A ．χ2越大，“X 与Y 有关系”的把握性越小

B ．χ2越小，“X 与Y 有关系”的把握性越小

C ．χ2越接近于0，“X 与Y 无关系”的把握性越小

D ．χ2越大，“X 与Y 无关系”程度越大

【解析】 χ2越大，X 与Y 越不独立，所以关联越大；相反，χ2越小，关联越小．

【答案】 B

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：___________________________________________________

解惑：___________________________________________________

疑问2：___________________________________________________

解惑：___________________________________________________

疑问3：___________________________________________________

解惑：

___________________________________________________

3

[小组合作型

]

,2×2列联表

在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，

六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用

a

a ＋

b 与

c

c ＋d

判断二者是否有关系．

【精彩点拨】 对变量进行分类→

求出分类变量的不同取值→作出2×2列联表→ 计算

a

a ＋

b 与

c

c ＋d

的值，作出判断

【自主解答】 2×2列联表如下：

将表中数据代入公式得a ＋b ＝64

≈0.671 875. c

c ＋

d ＝27

60

＝0.45. 显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系．

1．作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．注意应该是4行4列，计算时要准确无误．

2．利用2×2列联表分析两变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将

a

a ＋

b 与

c c ＋

d ? ????或b a ＋b 与d c ＋d 的值相比，直观地反映出两个分类变量

间是否相互影响，但方法较粗劣．

[再练一题]

1．在一项有关医疗保健的社会调查中，发现调查的男性为530人，女性为670人，其

4

中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃甜食的列联表．

【解】 作列联表如下：

,独立性检验

在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另

外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该种血清能起到预防感冒的作用.

出判断．

【自主解答】 假设感冒与是否使用该种血清没有关系．

由列联表中的数据，求得χ2

的值为χ2

＝1 000× 258×284－242×216

2

474×526×500×500

≈7.075.

χ2

＝7.075≥6.635，

查表得P (χ2

≥6.635)＝0.01，

故我们在犯错误的概率不超过1%的前提下，即有99%的把握认为该种血清能起到预防感冒的作用．

1．熟练掌握χ2

统计量的数值计算，根据计算得出χ2

值，对比三个临界值2.706,3.841和6.635，作出统计推断．

2．独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据列2×2列联表；

(2)计算χ2

＝n ad －bc 2 a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d

的值；

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(3)将χ2的值与临界值进行比较，若χ2

大于临界值，则认为X 与Y 有关，否则没有充分的理由说明这个假设不成立．

[再练一题]

2．“十一”黄金周前某地的一旅游景点票价上浮，黄金周过后，统计本地与外地来的游客人数，与去年同期相比，结果如下： 【导学号：67720005】

系？

【解】 按照独立性检验的基本步骤，假设票价上浮后游客人数与所处地区没有关系． 因为χ2

＝7 645× 1 407×2 065－2 842×1 331 2

4 249×3 396×2 738×4 907

≈30.35＞6.635.

所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为票价上浮后游客人数与所处地区有关系．

[探究共研型]

,独立性检验的综合应用

探究1 当χ2

＞3.841时，我们有多大的把握认为事件A 与B 有关？

【提示】 由临界值表可知当χ2

＞3.841时，我们有95%的把握认为事件A 与B 有关． 探究2 在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．我们是否可以判定100个心脏病患者中一定有打鼾的人？

【提示】 这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有．

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