2010-2011(1)数值计算方法(A卷)及答案

2010­2011《数值计算方法》（A卷）

一、选择题（15%） 

1、 由四舍五入后得到 x = 30.120 , 则相对误差限 e r =（

(A) 0.5×10 –3 

(B) 0.5×10 –3 % 

(C) 0.00166 

* 

* 

）． 

(D) 0.00166%． 

3x1-x2+4x ì 3 = 1 

ï

2、用列主元高斯消去法解线性方程组 í -x1+2x2-9x 3 = 0 ，第 1 次消元，选择主

ï -5x1-3x2+x3  =- 1 î

元为 ( ). 

(A) 3           (B)   4          (C) －5 3、已知求积公式

（A） 

(D) －9 

）。

ò

1 

2 

f( x) dx»

1 

6 

131 f( 1) +Af(f (2) ，则 A＝（ 626 1 1 2 （B）（C）（D）3 2 3 

4、通过四个互异节点的插值多项式 P(x ) ，只要满足( 次的多项式. (A) 初始值 y 0 = 0 

), 则 P(x ) 是不超过一

(B) 一阶均差都为 0 

(C) 二阶均差都为0                 (D) 三阶均差都为 0 5、解非线性方程 f(x )= 0 的牛顿迭代法在重根附近（

（A）线性收敛

（C）平方收敛 二、填空题(15%) 

* 

1、 x = 0.002650 是按“四舍五入”原则得到的近似数，则它有______位有效数字。 

）。

（B）三次收敛

（D）不收敛

2、为了提高数值计算精度，当 | x | >> 1 时，应将x +1 x 改写为____________。 3、设 f(x)=2x+3x - 1 ，则均差 f [ 0 , 1 , 2 , 3 ] = _________________________。 4、n个节点的插值型求积公式的代数精度至少为_________次。 5、求方程 x = f (x ) 根的牛顿迭代公式是：_____________________。

3

2 

三、 （6%

的近似数的相对误差不超过 0.1%，问查开方表时，要取几位有 效数字？

四、（9%+9%=18%）已如下列数值表： 

（1） 试求 3 次插值多项式 P3 (x ) ，使得 

¢(1)= f ¢ P3(0)=f(0),P3(1)=f(1),P3 (2)= f (2), P3 (1) 。 

(2) 设 f(x) Î C[0,2]  , 写出插值误差 f(x)- P3 (x ) 的表达式，并加以证明。

4 

五、(10%)用最小二乘法求形如 y=ax

+ bx 的多项式，使其拟合下列数据： 

2 

六、（8%+10%=18%）

（1） 试确定求积公式中的待定参数，使求积公式： 

ò

2 

- 2 

f ( x ) d x » A - 1 ) + A 0 ) + A 1 ) 0 f ( 1 f ( 2 f ( 

的代数尽可能的高，并指明所得公式的代数精度。

1 

（2）利用复合梯形公式 T 8 计算积分

- 6 

dx 

1 + x ，并估计截断误差。若改用复合 Simpson 0 

公式 S 10 ，问n应取多大? n 计算，要使误差不超过 七、 （10%）用平方根法（ LL 分解法）解方程组：

T 

 ö æ 10 ö æ 4 - 2 - 4 ö æ x1

ç ÷ ç  ÷ ç ÷ ç - 2 17 10 ÷ ç x 2 ÷ = ç 3 ÷ . ç - 4 10 9 ÷ ç x ÷ ç - 7 ÷ è ø è 3 ø è ø

n 

八、（8%）能不能用迭代 x n +1  = 4 - e 求方程 e + x - 4= 0 在 [0,2] 内的根

x x 

（ x0  Î [0,2] ）? 如果不能，试给出一种收敛的不动点迭代方法，并说明迭代收敛的 理由。

参答案及评分标准：

一、D、C、D、C、A 二、（1）4，（2）1 x +1 + x 

，（3）2，（4）n­1 （5） x n + 1 = x n x n - f ( x n ) 

1 - f ¢ ( x n ) 

三、解：设要取n位有效数字，则由定理知，要求 

* 

|x- x |11 1-n1 - n 

£´10=´10< 0.1% ， （3分） * 

|x|2a1  2´ 4 

1 

只需取 n= 4 ，就有´101- 4 < 0.1% ，即查开方表时，取 4 位有

2´ 4

效数字。 （3分）

四、解：

（1） 以已知函数值为插值条件的二次多项式为 

N 2 ( x ) = f ( 0 ) + f [ 0 , 1 ]( x - 0 ) + f [ 0 , 1 `, 2 ]( x - 0 ) x ( x - 1 ) = 1 + 1 × x + 3 × x ( x - 1 ) = 3 x - 2 x + 1 

设所求插值多项式为 ： 

2 

（5 分）

H 3 ( x ) = N 2 ( x ) + k ( x - 0 )( x - 1 )( x - 2 ) 

¢ ( ¢ ( 于是 3 = H 3 1 ) = N 2 1 ) + k ( 1 - 0 )( 1 - 2 ) = 4 - k ，得 k = 1 ，

所以 H 3 ( x ) = N 2 ( x ) + ( x - 0 )( x - 1 )( x - 2 ) = x + 1 。 （2）

误差表达式： 

3 

（2 分）

（2 分）

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