07级高等数学AI 2008年1月(有答案)

高等数学AI 2008.1.21

一、填空题(每空3分，共18分) 1.函数y

2x arcsinx的自然定义域为 。

2.x 2是函数y

x 3x 2x 2

2

的第类间断点。

3.设f(x) x(x 1)(x 2) (x 2007)，则f'(0) 。 4.若 exf(x) 2x2 3x c。则f(x) 。

5.由xoy坐标面上的曲线5x2 3y2 8绕y轴旋转一周所成的旋转曲面的方程为 6.已知向量a i k，b 2i 3j，则a b 。 二、计算题(每小题6分，共36分) 1.limn[ln(n 1) lnn] 2.lim

n

sinx xxtanx

2

x 0

3.试讨论函数f(x) sinx在x 0处的可导性。

t

x 3e

4.求曲线 ，在t 0相应的点处的切线和法线方程。

t

y 2e

5.设函数y y(x)由方程ex y cosy 0所确定，求

dydx

。

6.确定函数y 3x4 4x3 1的单调区间及该函数图形的拐点。 三、计算积分(每小题 6分，共18分) 1.

ee

2x

x

4

dx 2.

41

lnxx

3.

50

x 8x 16dx

2

四、解答题(每小题7分，共14分)

2

1.求曲线y x 1、x轴及直线x 2三者所围成平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积。

2.求过点A(2,0, 3)且与直线l:

x 2y 4z 7 0 3x 5y 2z 1 0

垂直的平面方程。

五、证明与综合题(每小题7分，共14分) 1.设f(x)为区间[a,b]上的正值连续函数，F(x)

xa

f(t)dt

xb

dtf(t)

，x [a,b]

证明：方程F(x) 0在区间(a,b)内有且仅有一个根。

x x

2

2.已知函数f(x)

sint，(x R)，

(1) 证明：对任意的x R，有f(x ) f(x)； (2)试求函数f(x)在R上的最大值。

答案： 一、1. 1 x

12

2. 第一类间断点 3. -2007! 4. e x(4x 3) 5. 5(x2 z2) 3y2 8 6. 2

二、计算题(每小题6分，共36分) 1.limn[ln(n 1) lnn] limln(1

n

n

1

2.lim

sinx xxtanx

2

x 0

= lim

sinx xx x

2

x 0

=lim

n

cosx 13x

2

) lne 1

n

x 0

=

16

3.试讨论函数f(x) sinx在x 0处的可导性。 在x 0处不可导 因为f'(0) lim

f(x) f(0)

x 0

x 0

lim

sinxx

x 0

1 1

x 0x 0

，左右导数不相等。

t

x 3e

4.求曲线 ，在t 0相应的点处的切线和法线方程。

t

y 2e

解 t 0对应点(3,2)，

dydx

= t 0

23

，所以切线方程 y 2

dydx

23

(x 3)，法线方程 y 2

32

(x 3)

5.设函数y y(x)由方程ex y cosy 0所确定，求

x y

'

'

。

e

x y

x y

解 两边对x求导 e(1 y) sinyy 0 整理

dydx

=

siny e

6.确定函数y 3x4 4x3 1的单调区间及该函数图形的拐点 解 y' 12x3 12x2 12x2(x 1)，令y' 0 驻点 x 0,x 1

y 36x 24x 12x(3x 2)，令y 0，

x 0,x

''

2

''

2，

(23, 79)

所以 函数在( ,1)上单调递减，函数在(1, )上单调递增，拐点(0,1),

三、计算积分(每小题 6分，共18分) 1.

ee

412x

x

4

dx=

(e

4

de

x

2

x

2

) 2

=

12

arctan

e

x

2

4

c

2. 3.

lnxx

2

=

1

2lnxd

x=2(xlnx1

41

x

1x

dx)=4ln4 4

5

50

x 8x 16dx=

50

x 4= (4 x)dx+ (x 4)dx=8

4

4

12

172

四、解答题(每小题7分，共14分)

1.求曲线y x2 1、x轴及直线x 2三者所围成平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积。 解 Vx

21

22

(x 1)dx=

21

42

(x 2x 1)dx= (

15

x

5

23

x x)1

32

3815

2.求过点A(2,0, 3)且与直线l:

j 25

k

x 2y 4z 7 0 3x 5y 2z 1 0

垂直的平面方程。

解

n 4=( 16,14,11)，由点法式得平面方程为 16(x 2) 14(y 0) 11(z 3) 0 2

五、证明与综合题(每小题7分，共14分) 1.设f(x)为区间[a,b]上的正值连续函数，F(x)

xa

f(t)dt

xb

dtf(t)

，x [a,b]

证明：方程F(x) 0在区间(a,b)内有且仅有一个根。 证明 因为F(x)在[a,b]上连续，且F(a)F(b) 0

aa

ab

{F(a)

f(t)dt

dtf(t)

ab

dtf(t)

0 F(b)

ba

f(t)dt

bb

dtf(t)

f(t)dt 0}

a

b

由零点定理，方程F(x) 0在区间(a,b)内至少有一个根； 又F'(x) f(x)

1f(x)

0，F(x)在区间(a,b)内单调递增，故根是唯一的。

2.已知函数f(x)

x x

2

sint，(x R)，

(1) 证明：对任意的x R，有f(x ) f(x)；

x x

2

证明 f(x)

sint，所以f(x )

x x

2

sint

(令t y ，t x ，y x；t x

x x

2

，y x

2

；dt dy)

2

f(x )

sint=

x x

2

siny f(x)

(2)试求函数f(x)在R上的最大值。 x 2

sinx cosxsintdt x

解 f(x) =

x

2 cosx sinx 2sintdt x

0 x

2

2

x

sinx cosx

f'(x)

sinx cosx

0 x

2

2

x

在x

2

处，limf'(x) 1，limf'(x) 1，故在x

x

2

2

x

2

处可导。

sinx cosx 3

令f'(x) 0，x ，x ，f''(x)

44 sinx cosx

f(

''

0 x

2

2

x

4

) 2 0，有极大值，f(

''

3 4

) 2 0，有极小值，

所以，函数f(x)在R上的最大值是2。