上海市嘉定、长宁区2015年高三(二模)数学(理科)及答案(2)

所以，当0 a 时，M(a) g a ；

44 2

113当 a 时，M(a) g(0) 3a ， 424

即t的取值范围是 0,

51 a ,0 a , 44

即M(a) （6分）

311 3a , a . 442

5

由M(a) 2，解得0 a ． （8分）

12

5

所以，当a 0, 时，综合污染指数不超标． （9分）

12

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

（1）设D(x0,0)（x0 0），由F2(c,0)，B(0,b)，故2 ( c,b)， (x0, b)， 因为F2 ，所以 cx0 b2 0， （1分）

b2 b2

c,0x0 ，故F2 ， （2分） cc

b2

0，所以，b2 3c2． （3分） 又F1F2 (2c,0)，故由2F1F2 F2 0得3c c

b

所以，tan BF2F1 3， BF2F1 60 ，即△BF1F2是等边三角形． （4分）

c

（2）由（1）知，b c，故a 2c，此时，点D的坐标为( 3c,0)， （1分） 又△BDF2是直角三角形，故其外接圆圆心为F1( c,0)，半径为2c， （3分）

| c 3|

2c，c 1，b ，a 2， （5分） 所以，

2

x2y2

1． （6分） 所求椭圆C的方程为43

（3）由（2）得F2(1,0)，因为直线l过F2且不与坐标轴垂直，故可设直线l的方程为： y k(x 1)，k 0． （1分） y k(x 1), 2222由 x2y2得(3 4k)x 8kx 4k 12 0， （2分）

1, 3 4

8k24k2 12

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则有x1 x2 ，x1x2 ， （3分）

3 4k23 4k2

由题意，M(x1, y1)，故直线QM的方向向量为d (x2 x1,y2 y1)，

x x1y y1

所以直线QM的方程为， （4分）

x2 x1y2 y1

y(x x1)yx y2x1k(x1 1)x2 k(x2 1)x1

令y 0，得x 12 x1 12

y2 y1y2 y1k(x2 1) k(x1 1)

4k2 128k2

2 22 242kx1x2 k(x1 x2)2x1x2 (x1 x2) 4． （5分）

68kk(x1 x2) 2k(x1 x2) 2

22

3 4k

即直线QM与x轴交于定点(4,0）．

所以，存在点N(4,0)，使得M、Q、N三点共线． （6分）

x1

（注：若设N(x0,0)，由M、Q、N三点共线，得x2

y11y2

1 0， 1

x0

得x0

x1y2 x2y1

．）

y1 y2

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

（1）由Sn Sn 2 2Sn 1 2n 1（n 3），得Sn Sn 1 Sn 1 Sn 2 2n 1（n 3）， 所以an an 1 2n 1（n 3）， 即an an 1 2n 1（n 3） （2分） 又a2 a1 2，所以an (an an 1) (an 1 an 2) (a3 a2) (a2 a1) a1

2(1 2n 1)

2 2 2 2 3 3 2n 1． （4分）

1 22n 11 11 2n 1

（2）bn n n ， （2分） n 1n 1

an an 1(2 1)(2 1)2 2 12 1

1 11 11 1 1

所以，Tn b1 b2 bn n n 1

2 35 59 2 12 1

n 1

n 2

2

1 11

n 1 ． （5分） 2 32 1

1

所以，Tn ．

6

2n1 11

0，所以Tn随着n的（3）由（2），Tn n 1 ，因为Tn 1 Tn n 1n 2

2 32 1 (2 1)(2 1)

增大而增大． （1分）

1 6m11 11

，化简得， （2分） m n 1n 1

32 12 32 1

3 1 n 1

1， 因为m 0, ，所以1 6m 0，所以2 1 6m 6

3

n log2 1 1， （4分）

1 6m

1 3

当log2 1 1 1，即0 m 时，取n0 1即可． （5分）

15 1 6m

11 3 3

当log2 1 1 1，即 m 时，记log2 1 1的整数部分为p，

156 1 6m 1 6m

取n0 p 1即可． （7分）

若Tn m，则

综上可知，对任意给定的m 0,

1

，均存在n0 N，使得当n n0时，（2）中的Tn m恒成6

立． （8分）