高中数学第一章基本初等函数II1.3三角函数的图象与性质1.3.3已知

高中数学第一章基本初等函数II1.3三角函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角示范教案新人教B版必修4

高中 精品 教案 试卷

制作不易 推荐下载 1 1.3.3 已知三角函数值求角

示范教案

整体设计

教学分析

在课程标准中，没有已知三角函数值求角的内容，但相当多的内容涉及到这个问题(如立体几何中求两条异面直线的夹角、直线与平面所成的角、解析几何中直线的倾斜角)，所以教材专门列出一小节讲解，因此应该让学生了解它们的意义，并学会正确使用反三角函数符号arcsinx 、arccosx 、arctanx.但一定要控制本小节的难度，只能根据单角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，不要补充一些较复杂的题目，只要使学生会由已知三角函数值求角就可以了．

已知角x 的一个三角函数值求角x 时，实际上就是解最简单的三角方程．由于三角函数不是从定义域R →值域[－1,1]上的一一映射，所以已知角x 的一个三角函数值求角x 时，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可以分为以下几个步骤：第一步，确定角x 可能是第几象限角；第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x 1，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x 1；第三步，如果函数值为负数，则根据角x 可能是第几象限角，得出[0,2π]内对应的角；第四步，如果要求出[0,2π]以外的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果．

如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示，就不存在反三角符号了．本节的难点有三个，简单地说就是确定角的个数，认识符号，写出所求角的集合．克服难点的关键是拾级而上，分层次理解，弄清各层次的意义．但要注意表示形式上的不唯一．

三维目标

1．理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号表示．

2．会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[0,2π]范围内的角，并能用反正弦、反余弦、反正切符号表示角或角的集合．

3．能运用已知三角函数值求角，解决与其相关的一些简单问题．

重点难点

教学重点：已知正弦、余弦、正切值求角．

教学难点：对反正弦、反余弦、反正切的概念及其符号的正确认识．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(直接引入)我们知道，任意给定一个角，只要这个角的三角函数值存在，就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角．由此导入新课．

思路2.(类比引入)前面我们学习函数时知道，给定一个函数值必有一个或多个自变量

的值与之对应．那么三角函数作为一类特殊的函数，是不是也这样呢？比如sinx ＝12

，你怎样求出适合这个式子的x 的值呢？在学生探究中引入新课．

推进新课

新知探究

已知正弦值，求角．

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制作不易 推荐下载 2 提出问题

错误!

活动：教师引导学生先复习正弦函数的图象和性质，或用课件演示，引导学生得出：在函数y ＝sinx 的非单调区间上，对于已知的一个正弦值，有多个角和它对应，如在[0,2π]

上有两个角π4和3π4的正弦值都为22，在R 上有无穷多个角的正弦值为22

.但是，在y ＝sinx 的单调区间上，只有一个角和已知正弦值对应，比如在单调区间[－π2，π2]上，只有π4

的正弦值等于22

. 也就是说，正弦函数在区间[0,2π]上不具有单调性．但在[－π2，π2

]上单调递增．所以在区间[－π2，π2

]上，满足条件sinx ＝a(－1≤a≤1)的x 有且只有一个，而在[0,2π]上满足条件sinx ＝a(－1≤a≤1)的x 一般有两个．

一般地，对于正弦函数y ＝sinx ，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[－π2，π2

]上有唯一的x 值和它对应．记为

x ＝arcsiny(其中－1≤y≤1，－π2≤x≤π2

)， 即arcsiny(|y|≤1)表示[－π2，π2

]上正弦等于y 的那个角．这个角叫做y 的反正弦． 讨论结果：(1)有无穷多个；(2)表示为x ＝arcsiny(其中－1≤y≤1，－π2≤x≤π2

)． 应用示例

例1(1)已知sinx ＝

22，且x∈[－π2，π2]，求x ； (2)已知sinx ＝

22，且x∈[0,2π]，求x 的取值集合； (3)已知sinx ＝

22，且x∈R ，求x 的取值集合． 解：由sinx ＝22

知x 的正弦值是个正值，所以x 是第一象限或第二象限的角，如图1，由sin π4＝22，sin 3π4＝2

2 可知：

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制作不易 推荐下载 3 图1

(1)在[－π2，π2]上，x ＝π4

； (2)在[0,2π]上，x ＝π4或x ＝3π4

； (3)在R 上符合条件的角是所有与π4终边相同的角和所有与3π4

终边相同的角．因此x 的取值集合为

{x|x ＝2k π＋π4(k∈Z )}∪{x|x＝2k π＋3π4

(k∈Z )}． 点评：本例解法没涉及到反正弦概念，那么学习反正弦还有什么用呢？教师可就此点明，在本例(1)中，

π4＝arcsin 22，3π4＝π－arcsin 22.那么本例(2)中的答案也可写成{arcsin 22，π－arcsin 22}．进一步体会－22≤arcsina≤22

(其中－1≤a≤1)．同时强调，如果求得的角是特殊角，则最好用特殊角的弧度表示，如果不是特殊角，则用反正弦表示，为书写方便，一般地把x 作为自变量，y 是x 的函数，记为y ＝arcsinx.

例如：如果sinx ＝12，x∈[－π2，π2]，则x ＝arcsin 12＝π6

； 如果sinx ＝－32，x∈[－π2，π2]，则x ＝arcsin(－32)＝－π3

； 如果sinx ＝0，x∈[－π2，π2

]，则x ＝arcsin0＝0； 如果sinx ＝0.345 8，x∈[－π2，π2

]，在不要求求出具体的x 值时，其中的x 可记作

已知余弦值和正切值，求角．

提出问题

你能类比反正弦函数的概念，给出反余弦、反正切函数的概念吗？－、arctana 的范围是多少？

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制作不易 推荐下载 4 活动：教师引导学生复习余弦函数、正切函数的图象和性质，得出函数y ＝cosx 在区间

[0,2π)上，对y∈(－1,1)的任意一个值，有两个角x 与之对应．如果考察自变量x 在整个定义域(－∞，∞)上取值，那么对区间[－1,1]上的任意一个值y ，有无穷多个x 值与之对应，为了使符合条件cosx ＝a(－1≤a≤1)的角x 有且只有一个，我们选择闭区间[0，π]作为基本范围．在这个闭区间上，符合条件cosx ＝a(－1≤a≤1)的角x ，叫做实数a 的反余弦，记作arccosa ，即x ＝arccosa ，其中x∈[0，π]且a ＝cosx.

同样，根据正切函数的图象和性质，为了使符合条件tanx ＝a(a 为任意实数)的角x 有

且只有一个，我们选择开区间(－π2，π2

)作为基本的范围．在这个开区间内，符合条件tanx ＝a (a∈R )的角x ，叫做实数a 的反正切，记作arctana ，即x ＝arctana ，其中x∈(－π2，π2

)，且a ＝tanx.

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