随机过程及其在金融领域中的应用(3)

随机变量X,Y的协方差矩阵定义为

X

(Cov(Xi,Xj),i,j 1, ,n)

2

其中，Cov(Xi,Xj) X i

随机过程 金融领域

2、随机事件独立和相关的定义 定义2-4

随机变量X,Y称为是相互独立的，如果有

P(X B1,Y B2) P(X B1)P(X B2),B1,B2

即事件{X B1}与{Y B2}是互相独立的。 定义2-5

如果随机变量X1, ,Xn，对于任意1 i1 ik n,k为整数，

1 k n,满足

P(Xi1 Bi1, ,Xik Bik) P(Xi1 Bi1) P(Xik Bik),B1, ,Bn

则称随机变量X1, ,Xn是相互独立的，即事件

X1 B1 , ,{Xn Bn}是相互独立的。

3、相互独立的随机变量的性质 定理2-3

如果X1, ,Xn相互独立且它们的数学期望存在，则对于任何实函数

g1(x), ,gn(x)，有

E[g1(X1), ,gn(Xn)] E[g1(X1)] E[gn(Xn)]

定理2-4

随机过程 金融领域

设(X1, ,Xn)为n维随机向量，设fX(x1, ,xn)为其概率密度函数。现有n元函数yi gi(x1, ,xn)(i 1, ,n)，且存在唯一反函数

xi hi(y1, ,yn)(i 1, ,n)。如果gi,hi有连续偏导数，则由分量 Yi gi(X1, ,Xn)(i 1, ,n)所给定的n维随机向量(Y1, ,Yn)的概

率密度函数为

fX(x1, ,xn)|J|,若y1, ,yn是g1, ,gn的值域

fY(y1, ,yn)

否则 0,

其中，xi hi(y1, ,yn)(i 1, ,n)。而且J为坐标变换的雅可比矩阵

x1

y 1J xn y1

x1

y2 xn y2

x1

yn xn

yn

|J|为坐标变换的雅可比行列式。

2.4 条件数学期望

1、离散型随机变量的条件数学期望

设X,Y为离散型随机变量，对一切使P(Y y) 0成立的y，给定

Y y时，随机变量X的条件分布函数定义为

P(X x,Y y)

F(x|y) P(X x|Y y) ,x

P(Y y)

随机过程 金融领域

设随机变量X可能的取值为x1,x2, ，离散型条件数学期望定义为

E[X|Y y]

xdF(x|y) xkP(X xk|Y y)

k 1

2、连续型随机变量的条件数学期望

设X,Y为连续型随机变量，对一切使fY(y) 0成立的y，给定Y y时，随机变量X的条件概率密度定义为

f(x|y)

f(X,Y)(x,y)fY(y)

给定Y y时，随机变量X的条件分布函数定义为

F(x|y) P(X x|Y y)

连续型条件数学期望定义为

x

f(x|y)dx,x

E[X|Y y]

xdF(x|y)

xf(x|y)dx

2.5 矩母函数和特征函数

1、矩母函数 定义2-6

随机过程 金融领域

设X是( ,F,P)上实随机变量，X的矩母函数（概率母函数） X(t)定义为：对于任意t ，

X(t) E(e) etxdFX(x)

tx

2、特征函数 定义2-7

设X是( ,F,P)上实随机变量，X的特征函数 X(t)定义为：对于任意u ，

X(t) E(e) eiuXdFX(x)

iuX

式中，i

是虚数单位，i

3、特征函数性质

（1）X(u) X(0) 1，对任意u ； （2） 在 上一致连续，即当h 0时，有

| X(u h) X(u)| |eixh 1|dFX(x) 0,u

（3）X(u) X( u) X(u)，对任意u R； （4） aX b(u) X(au)eibu，对任意u ,a,b ；

（5）若X,Y互相独立，则 X Y(u) X(u) Y(u)，对任意u