随机过程及其在金融领域中的应用(2)

1、闭集 ......................................................................................... 65 2、相关引理 ................................................................................. 65 3、定理5-13（分解定理） .......................................................... 66 4、例题 ......................................................................................... 66 5、随机矩阵 ................................................................................. 67 6、定理5-14 ................................................................................. 68 7、例题 ......................................................................................... 68 5.5 转移概率的极限状态与平稳分布 ............................................... 69

1、定理5-15 ................................................................................. 69 2、定理5-16 ................................................................................. 71

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4、定理5-17 ................................................................................. 72 5、平稳分布 ................................................................................. 73 6、定理5-18 ................................................................................. 73 7、例题 ......................................................................................... 74 第

连续时间Markov链 ............................................................ 78

6.1 连续时间Markov链的定义 ........................................................ 78

1、连续时间Markov链 ............................................................... 78 2、齐次Markov链 ....................................................................... 79 3、转移概率矩阵的性质 .............................................................. 80 4、定义 ......................................................................................... 81 6.2 极限定理和Kolmogorov方程 ..................................................... 82

1、连通 ......................................................................................... 82 2、定理6-1 ................................................................................... 83 3、定理6-2 ................................................................................... 84 4、定理6-3 ................................................................................... 84 5、非齐次情形下的向前方程和向后方程 ................................... 84 6、齐次链的向前方程和向后方程 .............................................. 85 7、定理6-4 ................................................................................... 85 8、定理6-5 ................................................................................... 86 9、定理6-6 ................................................................................... 86 10、定理6-7 ................................................................................. 86

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第二章 概率空间

2.1 概率空间与随机变量

1、 域 定义2-1

若F是 中一些字集组成的集类，且满足： （1） F；

（2）若A F，则Ac F； （3）若A1,A2, F，则

A F，

ii 1

则称F为 上的一个 域或 代数。并称二元组( ,F)为可测空间。

注：设 是某一随机试验的基本事件空间或样本空间， 中的元素就是描述该试验的

基本事件，即试验的可能结果。样本空间 的子集称为事件。

2、定理2-1

设C是 中一些子集组成的集类，则存在唯一的 的 代数 (C)，它包含C而且被包含C的任一 代数所包含。 (C)称为由C生成的 代数，或包含C的最小 代数。

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3、Borel集

设 Rd,d 1，则集类

C(d) {(a,b]: ai bi ,i 1, ,d}

是Rd的子集类，式中的a (a1,a2, ,ad)，b (b1,b2, ,bd)。则 域Bd (C(d))称为d维Borel域（代数），其元素称为Borel集。

3、概率空间

对于可测空间( ,F)，在F上定义一个非负集函数P( )，以度量F中事件发生可能性大小，它满足

非负性：0 P(A) 1，对于任何事件A F； 规范性：P( ) 1；

可列可加性：若A1,A2, F，且两两不交

Ai Aj ,i j,i,j 1,2, ，则 P( Ai) P(Ai)

i 1

i 1

称P(A)为事件A的概率，称( ,F,P)为概率空间。

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4、随机变量

设( ,F)是一可测空间，若函数f: [ , ]使得对任意

x ，有

{ |f( ) x} F

则称函数f是关于F（或 上）的可测函数。在概率空间( ,F,P)上定义的可测函数称为随机变量。

5、分布函数

设X X( )是定义在 上的一个随机变量，令

FX(x) P(X x) P({ :X( ) x})，x

称FX为随机变量X的分布函数。

6、定义2-2

设X( )是概率空间( ,F,P)上的一个随机变量，对Borel集B，定义

PX(B) P(X B) P({ :X( ) B})

把PX(B)称为X的分布。

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7、两个重要的离散型分布 （1）二项分布

设n {0,1,2, },p (0,1)，若X的分布为

n k

P(X k) p(1 p)n k,k 0,1, ,n

k

称随机变量X服从参数为(n,p)的二项分布B(n,p)。 （2）泊松分布

设 0，若X的分布为

P(X k) e

k

k!

,k 0,1,2,

称随机变量X服从参数为 的泊松分布P( )。

8、三个重要的连续型分布 （1）均匀分布

如果连续型随机变量X的分布密度为

1

,x (a,b)

fX(x) b a

其他 0,

则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X U(a,b)。

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（2）指数分布

如果连续型随机变量X的分布密度为

e x,x 0

fX(x)

x 0 0,

则称X服从参数为 ( 0)的指数分布。

注：指数分布具有无记忆性，即若X服从指数分布，则对于任意s,t 0，有 P(X s t|X t) P(X s)。反过来，如果一个非负连续型随机变量

X的分布函数FX(x)具有无记忆性，则它一定是指数分布。

（3）正态分布

如果连续型随机变量X的分布密度为

(x )2 fX(x) exp ,x 2

2

式中， , 2 0，则称X服从参数为( , 2)的正态分布或高斯分布，记为X N( , 2)。

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2.2 随机变量的数字特征

1、离散型随机变量数字特征

设离散型随机变量X的分布率为pk P(X xk),k 1,2, ，则

X E(X) xkpk

k 1