考研数学公式手册随身看(2)

微分中值 定理，必 达法则， 泰勒公式

,使

且 g ( x) 0 则在 (a, b) 内 一个 ,使 洛必达法则：

f (b) f (a ) f ( ) g (b) g (a ) g ( )

0 法则Ⅰ ( 型)设函数 f x , g x 满足条件： 0x x0

lim f x 0, lim g x 0 ; f x , g x 在 x 0 的邻域内可导x x0

8

共享

(在 x 0 处可除外)且 g x 0 ; limf x f x . g x

x x0

f x 存在(或 ).则 g x

x x0

lim

g x

lim

x x0

0 法则 I ( 型)设函数 f x , g x 满足条件： 0lim f x 0, lim g x 0 ; 一个 X 0 ,当 x Xx x

时, f x , g x 可导,且 g x 0 ; limf x f x . g x

x x0

f x 存在(或 ).则 g x

x x0

lim

g x

lim

x x0

法则Ⅱ(

型) 设函数 f x , g x 满足条件： x x0

x x0

lim f x , lim g x ;

f x , g x 在 x 0 的邻域内可f x 存在(或 ).则 g x

导(在 x 0 处可除外)且 g x 0 ; limf x

x x0

x x0

lim

g x

lim

x x0

f x . 同理法则 II ( 型)仿法则 I 可写出 g x

泰勒公式: 设函数 f ( x) 在点 x 0 处的某邻域内具有 n 1阶导 数，则对该邻域内异于 x 0 的任意点 x ,在 x 0 与 x 之间至少 一个 ,使得

9

共享

f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )

1 f ( x0 )( x x0 ) 2 2!

f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x) n!( n 1) ( ) 其中 Rn ( x) f ( x x0 )n 1 称为 f ( x) 在点 x 0 处的 n (n 1)!

阶泰勒余项.令 x0 0 ,则 n 阶泰勒公式f ( x) f (0) f (0) x 1 f ( n ) (0) n f (0) x 2 x Rn ( x) 2! n!

(1)( n 1) ( ) n 1 , 在 0 与 x 之间.(1)式称为麦克 其中 Rn ( x) f x (n 1)! 劳林公式 常用五种函数在 x0 0 处的泰勒公式

ex 1 x

1 2 1 x n 1 x xn e 2! n! (n 1)!

或 1 x 1 x 2 1 x n o( x n )2! n!

sin x x 或

1 3 xn n x n 1 n 1 x sin sin( ) 3! n! 2 (n 1)! 21 3 xn n x sin o( x n ) 3! n! 2

x

cos x 1

1 2 xn n x n 1 n 1 x cos cos( ) 2! n! 2 (n 1)! 2

10

共享

或

1

1 2 xn n x cos o( x n ) 2! n! 21 2 1 3 xn ( 1)n x n 1 x x

( 1) n 1 2 3 n (n 1)(1 ) n 11 2 1 3 xn x x ( 1) n 1 o( x n ) 2 3 n

ln(1 x) x

或

x

(1 x)m 1 mx

m(m 1) 2 m(m 1) (m n 1) n x x 2! n!

m(m 1) (m n 1) n 1 x (1 ) m n 1 或 (n 1)!m(m 1) 2 x 2!

(1 x) m 1 mx

m( m 1) ( m n 1) n x o( x n ) n!

1 函数单调性的判断： 函数单调 性的判 别，函数 的极值， 函数的图 形的凹凸 性，拐点 及渐近 线，用函 数图形描 绘函数最 大值和最 小值， Th1 设函数 f ( x) 在 (a, b) 区间内可导，如果对 x (a, b) ,都 有 f '( x) 0 (或 f '( x) 0 ) ,则函数 f ( x) 在 (a, b) 内是单调增 加的(或单调减少) Th2 (取极值的必要条件) 设函数 f ( x) 在 x 0 处可导， 且在 x 0 处取极值，则 f '( x0 ) 0 . Th3 (取极值的第一充分条件)设函数 f ( x) 在 x 0 的某一邻 域内可微，且 f '( x0 ) 0 (或 f ( x) 在 x 0 处连续，但 f '( x0 ) 不 存在.) (1)若当 x 经过 x 0 时， f '( x) 由“+”变“-” ,则 f ( x0 ) 为极大 值； (2)若当 x 经过 x 0 时， f '( x) 由“-”变“+” ,则 f ( x0 ) 为极小 值；11

共享

(3)若 f '( x) 经过 x x0 的两侧不变号，则 f ( x0 ) 不是极值. Th4 (取极值的第二充分条件)设 f ( x) 在点 x 0 处有 f ''( x) 0 , 且 f '( x0 ) 0 ,则 当 f ''( x0 ) 0 时， f ( x0 ) 为极大值； 当 f ''( x0 ) 0 时， f ( x0 ) 为极小值. 注：如果 f ''( x0 )=0 ,此方法失效. 2 渐近线的求法： (1)水平渐近线 若 lim f ( x) b ,或 lim f ( x) b ,则 y bx x

称为函数 y f ( x) 的水平渐近线. (2)铅直渐近线 若 lim f ( x) , lim f ( x) , x x0 或 则 x x0 x x0

称为 y f ( x) 的铅直渐近线. (3)斜渐近线 若 a limx

f ( x) , b lim[ f ( x) ax] ,则 x x

y ax b 称为 y f ( x) 的斜渐近线

3 函数凹凸性的判断： Th1 (凹凸性的判别定理) 若在 I 上 f ''( x) 0(或 f ''( x) 0 ) , 则 f ( x) 在 I 上是凸的(或凹的). Th2 (拐点的判别定理 1)若在 x 0 处 f ''( x) 0 , (或 f ''( x) 不存 在) ,当 x 变动经过 x 0 时， f ''( x) 变号，则 ( x0 , f ( x0 )) 为拐点. Th3 (拐点的判别定理 2)设 f ( x) 在 x 0 点的某邻域内有三阶导 数，且 f ''( x) 0 , f '''( x) 0 ,则 ( x0 , f ( x0 )) 为拐点12

共享

(三)一元函数积分学

共享

xdx ln x C

1

a dx ln a Cx

ax

(a 0, a 1)

e

x

dx ex C

cos xdx sin x C

sin xdx cos x C

cos sin

12

xx

dx sec2 xdx tan x Cdx csc2 xdx cot x C

12

sin x dx csc xdx ln csc x cot x C cos x dx sec xdx ln sec x tan x C1

1

sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C tan xdx ln cos x C cot xdx ln sin x C a 2

dx 1 x arctan C 2 a a x dx x arcsin C a a2 x2

1 x

dx

2

arctan x C arcsin x C

dx 1 x2

a

2

dx 1 a x ln C x2 2a a xdx2

1 x

dx

2

1 1 x ln C 2 1 x

x a2

ln x x 2 a 2 C

重要公式(1)设f ( x)在[ l , l ]上连续，则

l

l

f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx0

l

14

共享

f )为奇函数 0,当(x l 当( )为偶函数 2 0 f ( x)dx, f x

(2)设(x)是以T为周期的连续函数，a为任意实数，则 f

a T

a

f ( x)dx f ( x)dx 2 f ( x)dx. T0 2a

T

T

(3)

0

a 2 x 2 dx

1 a2 4

n 1 n 3 1 n n 2 2 2 , 当n为偶数 (4) 2 sin n xdx 2 cos n xdx 0 0 n 1 n 3 2 当n为奇数 1, n n 2 3

(5) sin nx cos mxdx -

2

0

, n m sin nx cos mxdx 0, n m

sin nx co …… 此处隐藏：3132字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……