2018版高考数学复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和教师用书理(2)

，∴公比q ≠－1， ∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2

＝S 3·(S 9－S 6)，

将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34

. 思维升华 等比数列常见性质的应用

等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 (2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18

B ．－18 C.578

D.558 答案 (1)C (2)A

解析 (1)前4项和S 4＝lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋lg a 4＝lg(a 1a 2a 3a 4)，又∵等比数列{a n }中，a 2a 3＝a 1a 4＝10，

∴S 4＝lg 100＝2.

(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比

数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18

，即a 7＋a 8＋a 9＝18

.

13．分类讨论思想在等比数列中的应用

典例 (12分)已知首项为32

的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)证明：S n ＋1S n ≤136

(n ∈N *)． 思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；

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(2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答

(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，

所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12

.[2分]

又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×? ????－12n －1＝(－1)n －1·3

2n .[3分]

(2)证明 由(1)知，S n ＝1－? ????－12n

，

S n ＋1

S n ＝1－? ????－12n ＋1

1－? ??

??－12n

＝????? 2＋1

2n 2n ＋1 ，n 为奇数，

2＋1

2n 2n －1 ，n 为偶数.[6

分] 当n 为奇数时，S n ＋1

S n

随n 的增大而减小，

所以S n ＋1

S n ≤S 1＋1S 1＝136

.[8分]

当n 为偶数时，S n ＋1

S n

随n 的增大而减小，

所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2

＝2512.[10分]

故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136

.[12分]

1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 2

3＋2a 2a 6＋a 3a 7等于(

) A ．4 B ．6

C ．8

D ．8－4 2

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答案 C

解析 在等比数列中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.

2．(2016·珠海模拟)在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32

B.23 C ．－23

D.23或－23 答案 C

解析 由????? a 1q ＝18，a 1q 3＝8解得????? a 1＝27，q ＝23或????? a 1＝－27，q ＝－23.

又a 1<0，因此q ＝－23

. 3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )

A ．12

B ．13

C ．14

D ．15 答案 C

解析 设数列{a n }的公比为q ，

由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，

可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q

3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36

， 所以n ＝14，故选C.

*4.(2015·福建)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

答案 D

解析 由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有a ，－2，b ；b ，－2，a .

∴????? ab ＝4，2b ＝a －2或????? ab ＝4，2a ＝b －2，解得????? a ＝4，b ＝1或????? a ＝1，b ＝4.

∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.

5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一

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个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )

A ．192里

B ．96里

C ．48里

D ．24里

答案 B

解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12

， 依题意有a 1 1－126

1－12

＝378， 解得a 1＝192，则a 2＝192×12

＝96， 即第二天走了96里，故选B.

6．(2016·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )

A.12

B.32 C ．1

D ．－32 答案 B

解析 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝

π33. log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7) ＝log 3a 74＝7log 3π

33＝7π3

， 所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝

32. 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4

解析 因为????? 3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ②

由①－②，得3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4，

则q ＝a 4a 3＝4.

8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________. 答案 150

解析 依题意，知数列{a n }的公比q ≠－1，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，

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因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2

＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，S 40＝150.

9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 答案 1

2n 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①

∴a 1＝12

，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，② 由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12

(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12

的等比数列， 则a n ＝12×(12)n －1＝12n . 10．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝

a n ＋1a n ，若

b 10·b 11＝2，则a 21 …… 此处隐藏：3517字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……