2018版高考数学复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和教师用书理

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第六章 数列 6.3 等比数列及其前n 项和教师用书 理 新人教版

1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．

2．等比数列的通项公式

设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q

n －1. 3．等比中项

如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．

4．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．

(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .

(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，??????1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，????

??a n b n 仍是等比数列．

5．等比数列的前n 项和公式

等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，

当q ＝1时，S n ＝na 1；

当q ≠1时，S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q

. 6．等比数列前n 项和的性质

公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n

.

【知识拓展】

等比数列{a n }的单调性

(1)满足????

? a 1>0，q >1或????? a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列． (2)满足????? a 1>0，0<q <1

或????? a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列． (3)当????? a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．

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(4)当q <0时，{a n }为摆动数列．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *

，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × )

(2)G 为a ，b 的等比中项?G 2＝ab .( × )

(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × )

(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )

1．(教材改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14

，则公比q 等于( ) A ．－12

B ．－2

C ．2

D.12

答案 D 解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12

. 2．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )

A ．21

B ．42

C ．63

D ．84

答案 B

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，得3(1＋q 2＋q 4

)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.

3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )

A ．31

B ．32

C ．63

D ．64

答案 C

解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.

4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．

答案 27,81

解析 设该数列的公比为q ，由题意知，

243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.

∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.

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5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5

S 2

＝________.

答案 －11

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，

∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4

＝0.

∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，

∴S 5S 2＝a 1 1－q 5

1－q ·1－q

a 1 1－q 2

＝1－q 51－q 2＝1－ －2

5

1－4＝－11.

题型一 等比数列基本量的运算

例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于(

) A ．2 B ．1 C.12D.18

(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n

a n

＝________.

答案 (1)C (2)2n －1

解析 (1)由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 2

4，

又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 2

4＝4(a 4－1)，

解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，

则由a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3

，解得q ＝2，

所以a 2＝a 1q ＝12.故选C.

(2)∵????? a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴?????

a 1＋a 1q 2

＝52， ①

a 1q ＋a 1q 3

＝54， ②

由①除以②可得1＋q

2

q ＋q 3＝2，

解得q ＝12，代入①得a 1＝2，

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∴a n ＝2×(12)n －1＝42n ， ∴S n ＝2×[1－ 12 n ]1－12

＝4(1－12n )， ∴S n a n ＝4 1－12n 4

2n ＝2n －1. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．

(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )

A.152

B.314

C.334

D.172

(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.

答案 (1)B (2)3n －1

解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得????? a 1q ·a 1q 3＝1，a 1 1－q 3 1－q

＝7， 解得????? a 1＝4，q ＝12或????? a 1＝9q ＝－13(舍去)，

∴S 5＝a 1 1－q 5 1－q ＝4 1－125 1－12

＝314. (2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，

可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3，

故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.

题型二 等比数列的判定与证明

例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.

(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；

(2)求数列{a n }的通项公式．

(1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，

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得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2.

∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.

又????? S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2 n ≥2 ， ②

由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，

∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)．

∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)，

故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列．

(2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2

n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34

， 故{a n 2n }是首项为12，公差为34

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