高数(经济数学-微积分) 3-6

高数(经济数学-微积分)课件PPT

第六节

边际与弹性

一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 三、弹性的概念 四、经济学中常见的弹性函数 五、小结 思考题

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一、 边际的概念处可导， 如果函数 y = f (x) 在 x0 处可导，则在( x0 , x0 + x) 内的

y 平均变化率为 ；在 x = x0 处的瞬时变化率为 x f ( x0 + x) f ( x0 ) lim = f ′( x0 ) , x→0 x处的边际函数值. 经济学中称它为 f (x) 在 x = x0 处的边际函数值

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设在点 x = x0 处， x 从 x0 改变一个单位时 y 的增量 y 改变量很小时， 的准确值为 y x =1 ,当 x 改变量很小时，则由微分的应用 知道， 知道， y 的近似值为x = x0

y x =1 ≈ dy = f ′( x ) x

x = x0

x = x0 x = 1

= f ′( x 0 )

减小一个单位. 当 x = 1时，标志着 x从 x0 减小一个单位

这表明 f (x ) 在点 x = x0 处，当 x 产生一个单位的 改变时， 个单位. 改变时， y 近似改变 f ′( x0 ) 个单位.在应用问题中解 “近似” 二字. 释边际函数值的具体意义时往往略去 近似” 二字.

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定义1 处可导， 定义 设函数 y = f (x) 在 x 处可导，则称导数 f ′(x)边际函数. 为 f (x) 的边际函数. f ′(x) 在 x0 处的值 f ′( x0 ) 为边 际函数值. 改变一个单位， 际函数值.即当 x = x0 时， x 改变一个单位， y 改 个单位. 变 f ′( x0 ) 个单位.

例1 设函数 y = x 2 ,试求 y 在 x = 5 时的边际函数值. 时的边际函数值. 解 因为 y′ = 2 x ,所以 y′ x =5 = 10 .该值表明： 个单位( 该值表明：当 x = 5 时，x 改变 1 个单位(增加 个单位) ,y 个单位( 或减少 1 个单位) 改变 10 个单位(增加或 ， 个单位) 减少 10 个单位) .

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二、 经济学中常见的边际函数1、边际成本 、1)边际成本 边际成本总成本函数 C ( Q )的导数 C (Q + Q ) C (Q ) C ′ ( Q ) = Lim C = Lim Q → 0 Q Q → 0 Q

2)边际平均成本： 边际平均成本： 边际平均成本平均成本 C (Q )的导数 ′ C (Q ) Q C ′( Q ) C ( Q ) C ′( Q ) = 称为平均边际成本 . = 2 Q Q

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之和， 总成本 C ( Q )等于固定成本 C 0 与可变成本 C 1 ( Q )之和， 即： C ( Q ) = C 0 + C 1 ( Q )

而边际成本则为： 而边际成本则为： C ′(Q ) = [C0 + C1 (Q )]′ = C1′(Q ) 这样可以看出，边际成本与固定成本无关. 这样可以看出，边际成本与固定成本无关.

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例 2 设某产品生产 Q 单位的总成本为 Q2 C ( Q ) = 1100 + 1200 , (1)生产 个单位的总成本和平均成本； 求 ： (1) 生产 900 个单位的总成本和平均成本 ； (2)生产 (2) 生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成 本的平均变化率； 本的平均变化率 ； (3)生产 个单位的边际成本， (3) 生产 900 个单位的边际成本 ， 并解释其 经济意

义. 经济意义 .

生产900个单位时的总成本为 解 (1)生产 生产 个单位时的总成本为 900 2 C ( Q ) Q = 900 = 1100 + = 1775 1200

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平均成本为

C (Q)

Q = 900

1775 = = 1.99 900

个单位到1000个单位时总成本的 (2)生产 )生产900个单位到 个单位到 个单位时总成本的 平均变化率为

C (Q ) C (1000) C (900) 1993 1775 = = = 1.58 1000 900 100 Q

2Q Q ( 3)边际成本函数C ′(Q ) = ,当Q = 900 = 1200 600 C ′(Q ) Q = 900 = 1.5 时的边际成本

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2、边际收益 、定义： 定义：总收益函数 R(Q )的导数

R (Q + Q ) R( Q ) R R ′(Q ) = Lim = Lim Q → 0 Q Q → 0 Q 称为边际收益函数 .

为价格， P 设P为价格， = P(Q),因此 R(Q) = PQ = Q P(Q),R′(Q) = P(Q) + QP′(Q)

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例3

设某产品的需求函数为 P = 20 Q , 其中 P 为5

价格， 为销售量， 价格 ，Q 为销售量 ，求销售量为 15 个单位时的总 收益，平均收益与边际收益 . 收益 ，平均收益与边际收益.并求销售量从 15 个 单位增加到 20 个单位时收益的平均变化率 . Q2 解 总收益为 R = QP (Q ) = 20 Q 5销售 15 个单位时Q = 15

总收益 R

Q2 ) = ( 20 Q 5

= 255Q = 15

平均收益 R Q =15

R(Q ) = Q

Q =15

255 = = 17 15

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边际收益 R ( Q ) Q = 15

2 = ( 20 Q ) = 14 5 Q = 15

当销售量从 15个单位增加到 20个单位时收益的平均变 化率为 R R ( 20 ) R (15 ) 320 255 = = = 13 20 15 5 Q

例 4. 当某厂家打算生产一批

商品投放市场， 商品投放市场，已知该 Q 2

商品

为需求量， 的需求函数为 P = P ( Q ) = 10 e ,其中 Q 为需求量， P 为价格，且最大需求量 为价格， 和边际函数. 和边际函数. 为 6.求该商品的收益函数

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解 收益函数 R (Q ) = PQ = 10 Qe

Q 2

(0 ≤ Q ≤ 6) Q 2

边际收益函数 R ′(Q ) = 5( 2 Q )e

(0 ≤ Q ≤ 6)

3、边际利润 、 定义： 定义：总利润函数 L(Q )的导数L(Q + Q ) L(Q ) L L′(Q ) = Lim = Lim Q → 0 Q Q → 0 Q 称为边际利润 .

边际利润表示：若已经生产了 单位产 边际利润表示：若已经生产了Q单位产 再生产一个单位产品所增加的总利润. 品，再生产一个单位产品所增加的总利润.

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一般情况下， 一般情况下，总利润函 数 L( Q )等于总收益函数 R (Q )与总成本函数 C (Q )之差.即 之差.

L(Q ) = R(Q ) C (Q ), 则边际利润为 L′(Q ) = R′(Q ) C ′(Q ) 显然 , 边际利润可由边际收入 与边际成本决定 , > C ′( Q ) R ′( Q ) = C ′ ( Q ) < C ′( Q ) 时, > 0 L′(Q ) = 0 < 0

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例 5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计后分 析后， (元 析后，得出总利润 L (Q ) (元)与每月产量 Q (吨)的L = L(Q) = 250Q 5Q 2 ,试确定每月生产 20 关系为

吨的边际利润，并做

出经济解释. 吨，25 吨，35 吨的边际利润，并做出经济解释. 解 边际利润为 L ′( Q ) = 250 10 Q , 则L′(Q ) Q = 20 = L′( 20) = 50L′(Q) Q=35 = L′(35) = 100L ′(Q ) Q = 25 = L ′( 25 ) = 0

上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 20吨时 当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35 25吨时 35吨 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 再增加一吨，利润将减少100 此处说明，对厂家来说， 100. 时，再增加一吨，利润将减少100.此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高. 生产的产品越多，利润越高.

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